引子（3） 九章算术

九章算术

○方田（以御田畴界域） 今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。 又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。 〔图：从十四，广十二。〕 方田 术曰：广从步数相乘得积步。 〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。 淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义 同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名 责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者 举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之 本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存 善去非，略为料简，遗诸后学。〕 以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。 〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一 亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而 截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方， 凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。 二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕 今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。 又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。 里田 术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。 〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即 得亩数也。〕 今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。 又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。 ○约分 〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。 设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则 异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕 术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损， 求其等也。以等数约之。 〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕 今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。 又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三 分之五十。 又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得 二、六十分之四十三。 ○合分 〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细 既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕 术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。 〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊， 然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母 互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐， 势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通 体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错 综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同 以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕 实如法而一。不满法者，以法命之。 〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得 知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕 其母同者，直相从之。 今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。 又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。 ○减分 〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰 减分。〕 术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。 〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者， 同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕 今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六 多，多二百分之三。 又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三 分之二。 又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八 多，多一千五十分之四十三。 ○课分 〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕 术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。 〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意 与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕 今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减 四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。 又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减 三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。 ○平分 〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平 分也。〕 术曰：母互乘子， 〔齐其子也。〕 副并为平实。 〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知， 限为平。〕 母相乘为法。 〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕 以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。 〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。 淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三 重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕 以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。 今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之 四。 又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰： 人得二钱八分钱之一。 ○经分 〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以 人数分所分，故曰经分也。〕 术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。 〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。 乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知， 自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令 两分母相乘法实也。〕 重有分者同而通之。 〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内 子，又令分母互乘上下。〕 今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十 二。 又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。 又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。 ○乘分 〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕 术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。 〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃 为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各 当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十 匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤 之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五 匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十 二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者， 犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求 齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之 三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则 三术同归也。〕 今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。 又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百 二十步九分步之五。 又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰： 一亩二百步十一分步之七。 ○大广田 〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步； 此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕 术曰：分母各乘其全，分子从之， 〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕 相乘为实。分母相乘为法。 〔犹乘分也。〕 实如法而一。 〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘 为法而连除之。〕 今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。 又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十 三步六分步之五。 术曰：半广以乘正从。 〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中 平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕 今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 答曰：九亩一百四十四步。 又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？ 答曰：二十三亩七十步。

九章算术

三二〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？ 答曰：十一亩九十步、十二分步之一。 术曰：半周半径相乘得积步。 又术曰：周径相乘，四而一。 又术曰：径自相乘，三之，四而一。 又术曰：周自相乘，十二而一。 〔三三〕今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？ 答曰：一百二十步。 〔三四〕又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？ 答曰：五亩六十二步、四分步之一。 术曰：以径乘周，四而一。 〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？ 答曰：一亩九十七步半。 〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？ 答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。 术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 〔三七〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？ 答曰：二亩五十五步。 〔三八〕又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？ 答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。 术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。 密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。

《九章算术》讲的是什么内容？

《九章算术》的九章的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题．

九章算术 是谁写的

没有写历史上记载是东汉民间前的一套整理之前的一本数学书

《九章算术》

5÷（1－1/3）÷（1－1/5）÷（1－1/7）＝175/16斗

九章算术中的九章是指什么

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。

《九章算术》里的问题

设两地距离x。 3x/25+3x/35=5*24 x=120/（3/25+3/35） x=1750/3

九章算术中的问题

水池深度，芦苇长度，正方形边长一半 组成了一个直角三角形 设水池深度x，则芦苇长度x+1 （x+1)²=x²+(10/2）² 解得x=12 x+1=13 答：水池深度12尺，芦苇长度13尺 应该是这个答案

九章算术中的洛书之图

有会算的 中国易学关于八卦来源的传说，最初指天赐的祥瑞。河洛之辞，最早见于《尚书·顾命》，又见于《论语·子罕》。《尚书·顾命》：“大玉，夷玉，天球，河图在东序。”《管子·小臣》：“昔人之受命者，龙龟假，河出图，洛出书，地出乘黄，今三祥未见有者。”《周易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”认为八卦乃据河洛推演出来。汉人多宗此说，以河洛解释八卦来源。 （1）河洛所指，后世理解不一。西汉刘歆以河图为八卦，以《尚书·洪范》为洛书。汉代纬书有《河图》九篇，《洛书》六篇。以九六附会河洛之数。宋初陈抟创“龙图易”。吸收汉唐九宫说与五行生成数，提出一个图式，名龙图，即河图。西蜀隐者则以陈抟之先天太极图为河图。刘牧将陈抟龙图发展为河图、洛书两种图式，将九宫图称为河图，五行生成图称为洛书。南宋朱震于《周易挂图》中载其图。南宋蔡元定认为刘牧将河图与洛书颠倒了，将九宫图称为洛书，五行生成图称为河图。朱熹《周易本义》卷首载其图。后世所称一般以蔡说为准。南宋薛季宣以九数河图、十数洛书为周王朝的地图、地理志图籍。清黄宗羲《易学象数论》、胡渭《易图明辨》亦认为河图洛书为四方所上图经一类。今人高亨认为河图洛书可能是古代地理书，另有人认为河图为上古气候图，洛书为上古方位图，或以为河图为天河之图。众说不一，尚在继续探求中。 （2）河图，洛书的关系。一般认为河图为体，洛书为用；河图主常，洛书主变；河图重合，洛书重分；方圆相藏，阴阳相抱，相互为用，不可分割。汉代刘歆认为：“河图洛书相为经纬。”（《汉书·五行志》注）南宋朱熹、蔡元定：“河图主全，敌极于十；洛书主变，故极于九。”“河图以五生数统五成数而同处于方，盖揭其全以示人而道其常，数之体也。洛书以五奇数统四偶数而各居其所，盖主于阳以统阴而肇其变，数之用也。”并认为河图象天圆，其数为三，为奇；洛书象地方，其数为二，为偶。（《易学启蒙》）蔡沉：“河图体圆而用方，圣人以之而画卦；洛书体方而用圆，圣人以之而叙畴。”并认为河图主象、洛书主数；河图主偶、洛书主奇；河图主静、洛书主动。（《洪范皇极·内篇》）清万年淳以图之方圆论河洛关系，认为：“河图外方而内圆”，“中十点作圆布”，“外四圈分布四方，为方形，十包五在内，仍然圆中藏方，方中藏圆，阴中有阳，阳中有阴之妙也。而十五居中，即洛书纵横皆十五之数，是又河图包裹洛书之象。河图点皆平铺，无两折，洛书亦然。”“洛书外圆而内方，圆者黑白共四十数，圆布精其外，包裹河图之象。”“河图已具洛书之体，洛书实有运用河图之妙，因将图书奇偶方圆交互表之以图。”（《易拇》）近代杭辛斋认为：“河图为体而中有用，洛书为用而中有体。”“有以图书配八卦者，多拘执而不能悉当，其实河图为体、洛书为用，河图即先天，洛书即后天。”“故图与书，相互表里，不能分割。”（《易楔》）还有人认为河图重“合”，具有奇偶相配、阴阳互抱、生成相依的特点；洛书重“分”，具有奇偶分离，生成异位的特点，两者一分一合，体现对立统一、盛衰动静的辩证关系。 《易.系辞上》：“是故天生神物，圣人则之；天地变化，圣人故之；天垂象见吉凶，圣人象之；河出《图》，洛出《书》，圣人则之。”孔子相信河图、洛易的存在，并以二者作为圣人作《易》的四条依据之一。

九章算术相遇问题

看作工程应用题。甲每天行全程的1/5,乙每天行全程的1/7.乙先行2天，是全程的2/7,还剩5/7.这是两人共同走的路程。 1-2/7=5/7 5/7 / (1/5 + 1/7 )=2 又 1/12（ 天） 这就是甲出发后相遇的时间。（如果是乙出发时的时间再加2天） 甲【扔】发长安和甲【仍】发长安都不对，是甲【乃】发长安。