第一章 史海钩沉 令人晕头转向的负数

你好！欢迎来到温州市夏明燕名师工作室项目化研修栏目：《每天听点儿书》。今天为大家分享的是蔡宏圣所著的《数学史走进小学数学课堂：案例与剖析》第一章第一节《史海钩沉：令人晕头转向的负数》。负数一般定义为小于零的数，英文是negative number。其中前一词negative表示否定或相反的意思。这从一定意义上表明，负数的使用首先源于生活中欠债、不足等问题。中国是世界上最早使用负数的国家。战国时期，李悝（kuī）在《诗经》中说“衣五人中岁用千五百不足四百五十”，即还差450钱。这里的“不足”，就是负数的意思。此外，卖、出、弱、付等文字都曾用来表示负数。约成书于西汉中期的《九章算术》及刘徽的注释，比较系统地给出了正、负数的意义和加减法则。负数的引入，是我国古代数学家对人类文明的杰出贡献之一。此外，很多国家也很早对负数有了感性认识。客观地说，算法中使用负数和在逻辑上真正理解负数是两个层面的事情。负数的数学意义，首先是西方数学家们构建起来的。东方数学的发展满足于解决问题，所以对负数的认知只限于它的四则运算，直至近代也没有更多的突破。西方对负数的探讨虽然起步较晚，但理性思辨的传统，使得他们从一开始就聚焦于方程负数解的讨论上，并最终完成了对负数的数学抽象，不过其过程历尽艰辛，耐人回味。13世纪初，意大利数学家斐波那契解释负数为“欠款”。15世纪，法国数学家许凯在 1484 年对解方程中多次出现的负数解用赊欠等词语解释了它们的意义。16世纪，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“+”、“-”表示加、减，并注意到负数不单是一种减数，还是小于零的数，比零小也就是“小于一无所有”，因而负数是“荒谬的数”。意大利数学家卡尔达诺的《大术》在欧洲历史上第一个详细讨论了方程的负数解，并指出三次方程有三个根，四次方程有四个根。他还指出，如果方程没有正数解，也就没有负数解。他把负数解称为虛构的解，即在现实生活中没有意义，正根才是实在的解。韦达则全然摒弃负数。笛卡儿也只是部分地接受了负数，他把方程的负根称为假根，因为它们代表比没有还要少的数。帕斯卡则认为从0中减去4 是不可能的。帕斯卡的好友、神学家兼数学家阿尔诺对于-1∶1=1∶-1提出了质疑，他说，由于-1比1要小，那么较小数与较大数的比怎么可能等于较大数与较小数的比呢？由此，他驳斥负数的存在。总之，在16—17世纪，绝大多数数学家都不承认负数也是数，即使承认了，也并不认为它们是方程的根。因为所解的方程中一再出现负根，因此在 1650 年以后负数的运用便十分自由，但又由于人们对其概念及逻辑基础不甚清楚，数学家们仍继续粗制滥造一些证明以求心安，或者干脆反对对其应用，这种状况即便在 18—19世纪也是如此。就这样，方程的负根像个幽灵一般，弄得欧洲数学家们晕头转向，思维处于混沌之中，对其的争论前后约达 500年。当然，西方也有一些能够接受新事物的数学家，他们十分理智地对待负数。如意大利数学家斐波那契在《算盘书》中提出，“除非认识负数”才可克服认识上的矛盾。1572年，意大利数学家邦贝利在《代数学》一书中正式给出了负数的明确定义。 英国数学家哈里奥特也偶然地把负数单独写在方程的一边，并用“－”表示它们。另一位有远见的法国-荷兰数学家吉拉尔在 1629年出版的《代数新发现》中用有限线段解释方程的负根。他旗帜鲜明地承认负数，并且提出用减号来表示负数。1637年，法国数学家笛卡儿出版《几何学》，代数方法的思想进入几何，产生了解析几何学。虽然笛卡尔本人不打算接受负数，但他的继承者们却将负数引入坐标几何，将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起来，使负数获得了几何意义，加速了人们对负数的接受。我国在相当长的时间里对负数的应用和思考没有更多的进展。直到近代，大批西方传教士来华，带来了西方的初等数学、天文历法及其他科技知识。1819年，李锐成书《开放说》，这是在中国数学史上第一次引入负根的概念。1893 年，苏州博习书院的美国传教士潘慎文与绍兴人谢洪赉（lài）合译出版《代形合参》一书，作者以“－天”来表示 “－x”，这是我国第一次使用现代符号 “－” 来表示负数。至此，人类历经2000 多年的思辦，终于从实践和理论两个层面上确立了负数的地位。今天的读书分享到这里就结束了，希望对您有所帮助。感谢收听《每天听点儿书》，我们下期再见。