24.推理算法：布尔代数

2023-08-07 20:21:5609:49 686

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计算机会思考吗？好像是会的。计算机会问我们问题、提出建议、纠正我们的语法错误、跟踪我们的财务状况，并计算我们的税收。有时候计算机看起来很反常，误解我们很明白的表达的意思，耽误我们宝贵的时间，或彻底拒绝回忆我们的合理要求。然而计算机看起来越是能思考，实际上就越是对人类思考能力的赞扬，人类已经找到了，将越来越复杂的理性活动完全表达为0和1的字符串的方式。

将人类理性还原为机械过程的尝试，至少可以追溯到公元前四世纪亚里士多德的逻辑三段论。较近代的一个例子出现在伟大的德国数学家莱布尼兹的作品中。莱布尼兹的许多成就之一是在1694年发明了一种能加、减、乘、除，4种运算的机械计算装置。这台机器被称为步进计算器，是对第1台已知的机器加法机的改进，1642年帕斯卡尔加法器只能加减。与加法器不同，莱布尼兹的机器在计算中使用了二进制数字系统，将所有数字表示为1和0的序列。

莱布尼兹还独立于牛顿发明了微积分，对”逻辑演算‖的观点产生了兴趣。他着手建立一个适用于所有科学的普遍推理系统。他希望自己的系统能够根据一套简单的规则来机械的工作，从少数基本的逻辑假设开始，由已知的规则推导出新的陈述。为了实现这种机械逻辑，莱布尼兹认为陈述必须以某种方式象征性的表示，所以它试图发展一种通用的特征，一种通用的符号逻辑语言。这项工作的早期计划出现在他的1666年出版的《论组合术》一书中，他的其他大部分研究成果直到20世纪初才被出版。因此他对抽象关系和逻辑代数的许多预见性的成果，对18世纪和19世纪的数学几乎没有持续的影响。

从19世纪奥古斯都·德·摩根和乔治·博尔的著作开始逻辑，被认为是数学系统的象征，这一对好友兼同事面对逆境取得了成功。

德·摩根出生在印度马德拉，斯一只眼睛失明。尽管有这种残疾，他还是以优异成绩毕业于剑桥的三一学院，22岁时被任命为伦敦大学的数学教授。他是一个有着多种数学兴趣的人，一位才华横溢的教师，尽管他的脾气有点古怪，但他却享有良好的声誉。他写过关于逻辑，代数，数学史和其他各种话题的教科书和通俗文章，是伦敦数学学会的联合创始人和首任会长。德摩根认为，数学和逻辑之间的任何分离都是人为的和有害的，因此他致力于把许多数学概念建立在更坚实的逻辑基础上，并使逻辑更加数学化。也许考虑到一只眼睛失明的缺陷，他总结了自己的观点，他说：

我们都知道数学家对逻辑的关心从未比逻辑学家对数学家的关心更多。数学和逻辑学是经历科学的两只眼睛，但是数学家对逻辑视而不见，逻辑学家对数学视而不见。双方都相信自己，只用一只眼睛比用两只眼睛看东西更清楚。

作为一个英国商人的儿子，乔治布尔生活在既没有钱也没有特权的家庭。尽管如此，他还是自学了希腊语和拉丁语，接受了足够的教育，成为一名小学教师。布尔开始认真学习数学的时候已经20岁了。仅仅11年后他出版了《逻辑数学分析》，这是他的两本逻辑学著作中的第1本，为逻辑推理的数值和代数论述方法奠定了基础。1849年，他成为都柏林皇后学院的数学教授。在49岁突然去世之前，布尔还写了几本现在被视为经典的数学书籍。他的第2部更著名的逻辑学著作《思想规律研究》，详细阐述并编撰了他1847年出版的书中探讨的观点。这种象征性的逻辑方法促使了布尔代数的发展，布尔代数是现代计算机逻辑系统的基础。

布尔研究成果的关键要素是，它系统地将叙述作为对象来处理，这些对象的真值可以通过逻辑运算进行组合，就像数的加法和乘法一样。例如，如果两个叙述P和Q中的每一个都可以是真或假，那么当它们组合在一起时，只有4个可能的增值情况需要考虑。事实上是P和Q是真的，当且仅当这两个叙述都是真的，然后可以用图二十五中的第1个表来表示。类似的图二十五中的第2个表，捕获了P或Q是正确的，只要两个组件语句中至少有一个是正确的。最后一个表显示了一个事实，即一个叙述及其否定总是有相反的真值。

从这里开始，将T和F转化为1和0是一个简单的步骤，并且将逻辑运算表作为一个有点不寻常但是完全可行的算术系统的基础，这个系统有许多相同的代数性质如加法乘法和相反数。

德·摩根也是逻辑代数处理有影响力、有说服力的支持者。它的出版物有助于完善扩展和推广有布尔创立的系统。在摩根对这一领域的许多贡献中有两条规律，现在以他的名字命名，清楚的捕捉到逻辑运算和关于否定行为的对称方式：
not - （ P and Q ）（ not - P ）or （not - Q ）
在摩根对数学逻辑理论的重要贡献中，他强调关系是一种值得自己详细研究的对象。大部分的作品在19世纪最后1/4时间，在查尔斯·桑特斯·皮尔斯复兴和扩展之前，基本上没有人注意到。查尔斯·桑德斯·皮尔斯作为哈佛数学家和天文学家本杰明·皮尔斯的儿子，他在数学和科学的许多领域都作出了贡献。然而随着他对哲学和逻辑的兴趣越来越浓厚，他的作品也向这个方向转移。他把自己对逻辑代数的兴趣，从他父亲和其他数学家的代数中区分出来，他说数学家们想要尽快的得出结论，所以当他们知道一个论点在哪里的时候，他们愿意跳过这些步骤；另一方面逻辑学家希望尽可能仔细地分析演绎，把它们分解成小的简单的步骤。

将数学推理简化为由微小的机械步骤组成的长串，是“计算机时代”的一个关键前提。20世纪电气设备设计的进步，以及将1和0转化为开关电气状态，导致电子计算器超过了莱布尼兹的不敬计算器的上限。键盘符号的标准代码允许这种机器读写单词。但正是布尔德摩根皮尔斯和其他人的工作把推理从文字转化成符号再到数字，才导致了现代计算机的出现，其快速的长串1和0的计算，使其思考的方式成为数学逻辑越来越复杂的应用。

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