31. 画树画出一个大数--TREE(3)漫谈

大家好，上期我们讲了一个大数，叫葛立恒数。今天我们再接再厉，再讲一个超大数，叫TREE(3)。这里TREE就是英文里树木的那个单词TREE。TREE(3)其实就是一个函数，函数名称叫TREE，而函数自变量取值是3。

上期讲过，TREE(3)跟葛立恒数比的话，葛立恒数是属于忽略不计的。更为神奇的是，TREE(3)的定义比葛立恒数更简单，简单来说，它就是一个画“树”的游戏，树林的树。这里，这个“树”的概念，对计算机专业的听众来说再熟悉不过了，什么二叉树，查找树等等。如果你不是计算机专业的，也不要紧。你应该也看到过公司的组织架构图，或是某个人的家谱等等，也是用类似一棵树的结构展示的，这就是我们今天要谈的树的概念。我在节目介绍里也放了一个树的简单示意图。

TREE(3)游戏的开始的可能步数：

你可能关心TREE(3)这个有限的数到底有多大？不管你信不信，这其实是今天节目最难点了。上一期葛立恒数我用箭号表示法，大概还能说明下葛立恒数有多大，但是在TREE(3)面前，箭号表示法已经完全不管用了。但是我们还是可以参考下，上期我们说了葛立恒数可以用64重箭号表示法来表示，那TREE(3)如果要用多重箭号表示法表示，那需要的层数将远远大于葛立恒数。

(每周一题)

本周题目：保险箱大盗

你是个保险箱大盗，你想打开一个保险箱。这个保险箱有三个锁（称为1,2,3号锁），每个锁都独立工作。你已经得到了可以开锁的三把钥匙（称为A,B,C钥匙），但是你并不知道A,B,C对应哪把锁。

保险箱工作机制是这样的，箱子外有一个开锁按钮，当你按开锁按钮，每把锁会检查插入的钥匙。如果是插入的是正确的钥匙，且原先是锁定状态，这把锁就会打开；若原先是打开状态，这把锁就会关闭。如果插入是错误的钥匙，这把锁状态保持不变（不管之前是打开还是锁定状态）。只有三把锁状态都变成打开时，保险箱会自动开门。但只要有至少一个锁是关闭状态，整个保险箱维持关闭状态，而且你在任何时候都不知道某把锁是关闭还是打开的状态，你也不知道每次尝试开锁时，有几把锁发生了状态变化。

作为一个出色的的大盗，你想用最少的尝试次数打开保险箱，请问你最少要尝试多少次，才可以确保能够打开保险箱？

提示：保险箱初始状态也未知，可能有某几锁开始时已经处于打开状态。

上期答案：

上周题目是：

张三和李四分一块饼吃，两个人都饿坏了，想多分点。他们约定这种分饼方法：张三先切一刀，分成两片；李四从两片中任选一片切一刀，剩下三片；张三从三片中任选一片，再切一刀，剩下四片。

然后张三得到最大和最小的一片，李四得到中间大小的两片。问张三采取什么样的切法，可以得到最大比例的饼？这个比例是多少？

正确答案是张三可以到的3/5的饼。恭喜1106711411, Magician, 王森，今年不买表答对了！ 完整过程是张三先切成1/5和4/5，李四切4/5，变成1/5, 2/5, 2/5。张三再切2/5，变成1/5, 1/5, 1/5和2/5。这样张三可得3/5。

简单证明如下：

设张三将饼切成s和1-s两部分，且s<1/2。接下来有四种情形：

对s<=1/5，李四切完变成s, (1-s)/2和（1-s)/2。张三再切，变成s, (1-s)/4,(1-s)/4和(1-s)/2四部分。张三可得s+(1-s)/2，在s=1/5时，取得最大值3/5。

对1/5<=s<=1/3。李四切完变成s, (1-s)/2和（1-s)/2。张三再切，变成(1-s)/4,(1-s)/4和(1-s)/2四部分。张三可得3(1 – s)/4。当s=1/5时，取得最大值3/5。

对1/3<=s<=3/7。李四切完变成s, (1-s)/2和（1-s)/2。张三再切，变成(1-s)/4,(1-s)/4和(1-s)/2四部分。张三可得(1 + 3s)/4。当s=3/7时，取得最大值4/7。

对3/7<=s<=1/2。李四切下一块e大小的饼，变成e, s和1-s-e，其中e是任意小。张三任意切一下s大小的块，最后得到e+1-s-e=1-s。当s=3/7时，取得最大值4/7。

综上所述，张三的最佳策略是可以得到3/5大小的饼。下期再见！

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