期望值是……_33. 如何设计奖惩制度--博弈论的困境

大家好，我是大老李。这期继续讲有关博弈论的话题。上期结尾留下了一个思考题，我把题目简单再回顾下：

问题是这样，有个母亲，她有一对双胞胎儿子。儿子很调皮，她为了管理好她的儿子，想出了这么一个政策，她每天会准备20块钱，傍晚单独问她两个儿子，问他们有关另一个小孩在学校的表现。如果两人都说另一个表现的很好，那么他们会各得10块钱。如果其中一个报告了另一个的不好表现，则报告的可以得到15块钱，不报告的一分没有。如果两人都报告了对方的不好表现，那两人都只能得到5块钱。接下来有四个问题，让我们来一一解读。

本周题目：特殊价格的礼物

gifts

张三给家人采购了若干圣诞礼物。他买完之后看了下账单，发现一个有趣的现象：所有的礼物的价格都是完全平方数（某自然数的平方），且将所有礼物的价格写下来之后，数字1到9恰好各出现1次。

请问，张三的账单总额最小可能是多少？他买了几件礼物？

上期答案：

上周题目是：

你在玩一个非常规的飞镖游戏，飞镖版是一个半径1英尺的靶子。你的飞镖本领不够好，你的飞镖只能随机且均匀的落在靶子上的任何位置（即落点均匀分布在靶子上），但不会脱靶。
飞镖游戏的规则是这样的，你连续投掷飞镖，直到你的第n个飞镖落点与之前的飞镖落点距离小于1英尺。这样你就出局了，你的得分是n-1。问题是（从易到难）：
可能的最高得分是多少？
得分超过1分的概率是多少？（也就是第二个飞镖距离第一个飞镖大于1英尺的概率）
你的得分期望值是多少？

第一个问题的答案是7分，形状就是下面这样：

第二个问题，超过1分的概率大约是0.41，精确来讲是 $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$ 。计算方法如下：

首先考虑如下的图：

above1

蓝色的圆表示靶子，绿色的点表示你的第一个飞镖的落点。绿色的圆就表示“坏”的第二镖的落点范围。如果第二镖落在绿色圆内，则表示你的飞镖离第一镖距离小于1英尺，或者完全脱靶（虽然你的技术好到不会让你脱靶）。

因此，你要获得1分以上的得分，你要计算你的第二镖能避开“坏”的落点的概率，且这个概率值与第一镖的落点位置相关。设你第一镖位置与靶心距离是x，则上图中两圆的重合部分的面积，称为A，有：

$A=2\cos^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)-x\sqrt{1-\left(\frac{x}{2}\right)^2}$

我们记得我们第一镖落在靶面位置上的概率是均匀的，则我们需要将x从0（第一镖命中靶心）到1（第一镖落在靶面边缘）进行积分。则最终的概率是：

$1-\frac{1}{\pi}\int_0^1 (2x)(A)dx=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

该数值大约为41%。

对第三题，使用积分运算也有点过于复杂了。有人使用python代码进行模拟(https://t.cn/RHz66tb)，模拟了10万次掷飞镖的情况，得到了平均得分约为1.47。

另外我们知道我们恰好得1分的概率是1-41%=59%。计算显示恰好2分的概率大约是35%，恰好3分大约是6%，恰好4分大约0.1%，得5到7分的概率几乎可以忽略不计。有人制作了了如下柱状图，可以很直观了解：

恭喜Stones答对了，Magician大部分思路正确！祝圣诞快乐，下周再见！

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数学真是太帅了的评论

33. 如何设计奖惩制度--博弈论的困境