高中函数 | “函数图像”是高考必备的技能

透视高考数学  揭秘命题规律

“心流”是备考应有的状态，“图像”是高考必备的技能

    开篇先介绍一个新词儿“心流”，就是指干一件事儿把时间忘了，沉浸在其中。其实这种状态可能从我们的老祖宗“智人”那会儿就有了，但是近些年才被概括出来。说白了，“心流”是一种状态。

    这是个什么样的状态呢。比如古时候的“两耳不闻窗外事，一心只读圣贤书”，专心致志的沉浸在书中状态。没感觉的话，换个例子，比如你打游戏的时候，时间一晃就过去了很久，别人和你说话听不到，肚子饿了也没感觉，这种也是你进入的“心流”这种状态。

    如果能在学习的时候，进入“心流”的状态，是不是会达到事半功倍的效果呢，答案是肯定的，而且效果不止一倍。那么如何才能进入这种状态呢，首先我们来回忆一下你有过的“心流”的感觉。这种感觉及其美好，让人投入；事情不能太难，太难会做不下去；事情也不能太简单，太简单会无聊，会进入“放空”的状态。所以，重点是要找好这个度，这样才会一步一步吸引你。

     我们在学习高中函数的时候，经常会讨论常值函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的定义域、值域、性质以及图像等等等等。一提到图像，很多学生就会被“折磨”的不要不要的。这里我想说，比起复合函数图像，通过几次导函数图像来判断原函数图像的题来说，刚刚提到的这些都是高中函数的基础。你之所以会觉得受“折磨”，是因为各种练习册总结的过多，再加上懒惰是人类的天性，一起充斥着你的大脑，你就会觉得乱，所以更记不住了。

    回顾一下前几期“三角函数公式”的节目，今天我就教你怎么快速记住函数图像。

    初中我们学过了正比例、反比例、一次函数和二次函数。

    高中我们学了指、对、幂及三角函数。

    其实初中的四个函数可以作为高中幂函数的基础，把它们当做“类幂函数”。

    那么我们只讨论“指、对、幂及三角函数”四个函数就够了。

    首先我们把指数函数和对数函数放在一起，成对儿比较。

    书中的定义并没有过多的文字介绍，只是说了一句“形如”，然后给出了一个解析式，配上一个图像而已。为什么定义会这样给呢？因为说不明白，给你画图好了，简单易懂。这里好有一比，有人向你问路，你说不明白咋办？画个简易地图啊，简单易懂。没有笔怎么办？用手比划，比划的过程就是在画图。所以说，画图是一项基本技能呢，画图做题只会更简单。那么如何画图呢，这里我告诉你，所有的函数图像，都是以前的数学家用“描点法”费尽精力画出来的大致图像。

    受描点的多少影响着图像的精度。其实我们大可不必这样周折，我们画图的目的是要明确函数的性质既可。

    指数函数只具备单调性，而且值域都是正的，变换可以通过底数a的大小对比记忆。因为当底数相同时，对数函数和指数函数互为“反函数”。所以它们是关于y=x这条直线对称的。现在把看着指数函数图像，把头向左歪着看图，这就是对数函数图像了。

    对数函数中的底数a就是指数函数里的那个底数a。对数函数也只具有单调性。这里重点强调一下，真数位置的数一定要大于零，再做导数题的时候经常遇到，并不是难点，只是学习对数函数和导函数间隔一年多，容易忽略。

    我们再来看一下幂函数图像，高中部分只需要会画“负一次幂”“一次幂”“二次幂”“二分之一次幂”“三次幂”“三分之一次幂”这六个基本的就可以。六个也嫌多？回忆一下“一次幂”就是正比例函数；“负一次幂”就是反比例函数；“二次幂”就是关于Y轴对称还过原点的那么最基本的二次函数而已。其实只有三个要记。

    见图，“二分之一次幂”就是给x开二次幂，它是“二次幂”的反函数，受到根号的影响，根号里面只能是大于等于零，所以它比二次函数少的小于零那部分，其他都关于y=x对称。同理，会画“三次幂”图像，关于y=x对称着画“三分之一次幂”的图像。  

    三角函数在之前四期有过详细讲解，这里把基本图像给出，不做赘述。

    讲到这里，四个函数的最基本图像讲完了。强调一下，我们画图主要要体现的无非是两点：

①定义域和值域的范围；②函数的性质。这也是考试的主要考点。

看一道2014年高考选择题

    像此类比较大小的题，在高考中以选择题出现，无非是根据图像先比较正负，再和“1”比较大小，因为比较简单，题号一般在3-4题位置，分值5分。

再看一道2016年高考选择题，题号12，作为选择的压轴题出现。

    题中的两个函数都具有点对称的性质，如果能通过第一个条件快速判断出点对称，第二个函数通过化简既可看出是一个反比例函数图像移动得到的，也是点对称。在解题过程中，举例就好，横坐标对称点是0，和为零，纵坐标对称点是1，比如两个交点，那么和就是2，所以m个交点，对称点Y的和就是m。

PS：

高考中的函数题，可难可易，难易都抛不开范围和性质，画图是最直观体现函数变换的一种方式。

函数题在高考中的分值占30分左右，是总分值的五分之一，函数思维贯通着整个高中数学，有基本，会结合，一步一步来，掌握基础，做题时达到“心流”的状态。

    下期我将会从函数引出导函数，明确“文字意思，几何意义”，通过“关键字“来分辨题型，图为函数结合后的图像，也是做导数相关题的基础，在讲解导数的时候，我会详细讲解其意义。

透视考高数学揭秘命题规律，

陪你一起备战高考，

我是数学毛老师，我们下期再见。