请帮忙解答以下第2题的第(6)和第(8)小题的留数问题,要详细答案,感谢帮助!
郭敦荣回答:
(1)函数(z^m)sin(1/z)等价于函数(sinz)/(z^m)的孤立奇点是z=0,且是m级极点,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=0,
∴Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-0)(sinz)/(z^m)]
=[(z-0)(sin0)/(0^m)]
=∞
(2)函数(z^2m)/(1+ z^m),当2不整除m时的孤立奇点是z=-1,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=-1,
∴Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z+1)(sinz)/(1+z^m)]
=∞。
(3)函数1/{[(z-α)^m](z-β)}的孤立奇点是z=α和z=β,z=α为m级极点,z=β为一级极点,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=α和z0=β,
∴Res[f(z),z0]=Res[f(z),α,β] =∞
(4)函数e^z/(z²-1)= e^z/[(z+1)(z-1)]的孤立奇点是z=-1和z=1,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=α和z0=β,
∴Res[f(z),z0]=Res[f(z),-1,1]
=z→-1 lim[(z+1)e^z/(z²-1)]+ z→1 lim[(z-1)e^z/(z²-1)]
=-1/ 2e+ e/2。
(1)函数(z^m)sin(1/z)等价于函数(sinz)/(z^m)的孤立奇点是z=0,且是m级极点,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=0,
∴Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-0)(sinz)/(z^m)]
=[(z-0)(sin0)/(0^m)]
=∞
(2)函数(z^2m)/(1+ z^m),当2不整除m时的孤立奇点是z=-1,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=-1,
∴Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z+1)(sinz)/(1+z^m)]
=∞。
(3)函数1/{[(z-α)^m](z-β)}的孤立奇点是z=α和z=β,z=α为m级极点,z=β为一级极点,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=α和z0=β,
∴Res[f(z),z0]=Res[f(z),α,β] =∞
(4)函数e^z/(z²-1)= e^z/[(z+1)(z-1)]的孤立奇点是z=-1和z=1,
留数Res[f(z),z0]= z→z0 lim[(z-z0)f(z)],z0=α和z0=β,
∴Res[f(z),z0]=Res[f(z),-1,1]
=z→-1 lim[(z+1)e^z/(z²-1)]+ z→1 lim[(z-1)e^z/(z²-1)]
=-1/ 2e+ e/2。
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