刘徽与割圆术

刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在公元263年撰写的着作九章算术注以及后来的海岛算经,是我国最宝贵的数学遗产,从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。此外,他在九章算术·圆田术注中,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法。
那么,究竟什么是割圆术呢？所谓割圆术,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法,是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后,经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。
中国古代从先秦时期开始,一直是取周三径一的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果,往往误差很大。正如刘徽所说,用周三径一计算出来的圆周长,实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长,其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果,他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比周三径一要好些,但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长,也不精确。刘徽以极限思想为指导,提出用割圆术来求圆周率,既大胆创新,又严密论证,从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来,既然用周三径一计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长,与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上,再继续等分,把每段弧再分割为二,做出一个圆内接正十二边形,这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割,做成一个圆内接正二十四边形,那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周这就表明,越是把圆周分割得细,误差就越少,其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周合体而完全一致了。
按照这样的思路,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个割圆术新方法非常自信,把它推广到有关圆形计算的各个方面,从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期,祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力,终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方,这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值,一个是约率,另一个是密率。,其中这个值,在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的,都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的割圆术新方法对中国古代数学发展的重大贡献,历史是永远不会忘记的。
利用圆内接或外切正多边形,求圆周率近似值的方法,其原理是当正多边形的边数增加时,它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪,古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形,以此为基础作一个圆内接正八边形,再逐次加倍其边数,得到正16边形、正32边形等等,直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合,他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德在论球和阅柱一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多,圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在圆的度量一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十,还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11：14,即取圆周率等于22/7易淘家园。公元263年,中国数学家刘徽在九章算术注中提出割圆之说,他从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,直至圆内接正96边形,算得圆周率为3.14或157/50,后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250。刘徽断言割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位,成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术,但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。
刘徽割圆术简单而又严谨,富于程序性,可以继续分割下去,求得更精确的圆周率。南北朝时期着名数学家祖冲之用刘徽割圆术计算11次,分割圆为12288边形,得圆周率π=355/133,成为此后千年世界上最准确的圆周率。