有了解孙映柏阴阳数学的吗?
不同的文化体系,产生不同的逻辑思路和方法。例如,英国人就不懂乘法九九表,印度人乘法就和中国人不相同,而孙先生的乘法又和前面的不相同。这是孙先生的创新,是乘除法上的创新。
我们小学班和中学班的数学课,都是用孙映柏老师的阴阳数学体系,来学习现代的数学这门学科。
孙老师是一名数学教育家,有几十年的数学教学经验,用“阴阳”的理念把数学上很多说不清的部分,清晰串联起来了。学习数学亦是一种思维的学习,掌握知识是基础,其中的奥秘得以贯通才真是其乐无穷。
01
小学数学中5×5表示什么?5个5相加的简便运算,用乘法表示加法的计算方式,这是我的认识。印象中,小学时学习乘法是这个思路,对乘法最直接的印象就是九九乘法表
孙老师教乘法,不背表,直接看。乘法不仅仅看做运算方式,而是把代数与图形结合在一起学。比如5×5,用方表示如下:
5 P(5,5)
0 1 2 3 4 5
(纵轴上也依次标上0-5,在此略。)
用方来表示,5×5不仅仅是5个5相加,而是横轴为5、纵轴为5形成的二维图形。这个方包括25个1×1;由此而形成的方中还能找到其它乘法(4×5,,3×5,2×5等,乘法的积是可见的,不用背乘法口诀表。在练习中逐步熟悉,看到一个乘法时,自然的有一个方出现);
再进一步,定点P(5,5)这个抽象的点变得具体可见。当然,今天的课堂上,并未标出P(5,5),只是老师知道这个点的意义,并带此意识。所以,孙老师说:有方就有乘,有乘就画方;乘法不背表,直接看。
这两天的数学课,孩子们通过折纸、摆棋子、画方几种方法轻松的接触乘法。课堂上,老师说的、教的并不多,而是让孩子在做中去寻找结果。
附上几张老师的手稿,从中可以了解孙老师这样教乘法,在基础数学中贯穿的一致性:
不一样的乘法表
02
小时候我们都是背乘法口诀表的,今天来看看,魔法学校的孩子们怎么学乘法。
当大国老师把“第三课 乘法表”写在黑板上时,有那么两个娃娃可能在想:嗨,简单,我已经会了。这两娃不老老实实听,结果一做题,就“蒙嘎啦”。我无情地告诉他们:“再想想,有别的做法!”看他们埋头皱眉的,脸上的表情也庄重了些,这就对了。
仍然是昨天那个5×5的方
5
5
10
15
20
25
4
8
12
16
20
3
6
9
12
15
2
4
6
8
10
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5
(图1 纵轴数字略)
大国老师给每个孩子准备了一个直角三角板,先找4×5的方。先在横轴上找到4,将三角板直角的一条边比齐它,再找到纵轴上的5,将三角板直角的另一条边比齐,直角两条边相交处为20,也就是说4×5的积是20。直接看就能找到答案,是不是?孩子们做了几个相似的练习后,现在,要检验一下了:
0 1 2 3
(图2,纵轴数字略)
3×3=9,在表中哪个格子里可以填上9呢?
应该说这个题还是有些抽象的,留意的话,可以觉察到它是图1中的一部分。有意思的是,并没有孩子从中照搬答案,而是依据自己的理解开始填数。
类似的练习做熟后,现在请他们自己在5×5的方里,填上所有数字。
说实话,这个时刻让人期待,孩子们也有些兴奋,望着一张空表,这么多数字要填,可不是靠记忆能填得出来的。想想吧,这个做题的过程,孩子逐步的体会到数字排列的规律,心中越来越确信,而生出的喜悦。填完之后,还可以继续玩,这张表里还有可发现的乐趣。
这样学乘法是不是很酷?
认识象限
03
今天星期一,数学课延时10分钟下课,显然没出现什么星期一现象,孩子们在课堂上循着大国老师的教学思路走,学得很过瘾。他们学什么?先卖个关子,且看这两节课如何一步步紧扣上的。
取张A4纸,沿横、纵中线对折,这样会得到一个直角坐标。用铅笔沿折线描线,在坐标的四个方向相应写:上、下、左、右。在交叉点写上“0”,并告诉孩子这是原点。沿逆时针方向在直角坐标的四个区域依次写上1、2、3、4,分别称之为第一、二、三、四象限。现在要区分它们四个区域的不同,如何用一种颜色区分?把2、4象限涂成深色即可。
现在知道了,在讲象限。给二、三年级的孩子讲象限?为什么?怎么讲?孩子能懂吗?这些问题如果回到课堂,看着孩子们一步步做,也许就不会有过多困扰。可没亲临教学现场,恐怕难免都会惊讶,毕竟象限是中学的数学内容。孙老师在玩什么?
备课时,孙老师要我们放下过往教学大纲带来的思维惯性,不要牢记挂着这是小学、那是中学的内容,要回到数学本身。这位老教师的大胆程度,可不是来自于他的玩心,而是来自于他多年对数学教学上的思考与探索,当他体悟到越来越多的妙处时,阴阳数学的框架像山间溪流,奔流不息,融汇贯通。
今天,这位年近八十的老教师,满怀热情地带着我们备课,随堂指导,看娃娃们轻松地学数学,是最令他振奋的事了。每天的课堂,是这位老先生最好的营养素。
上个学期学习正负数运算时,孩子们已经熟悉了:下为阴,上为阳;左为阴,右为阳的表达。回到象限来看,四个象限有第一象限为右上(阳阳,++),第二象限为左上(阴阳,-+),第三象限为左下(阴阴,--),第四象限为右下(阳阴,+-)。这些对孩子而言都不难,大国老师稍做启发,孩子们自己能回答。
在坐标上取点P(3,2),画线,形成3×2的方,这个方的积是多少?如果忘了,娃们从之前做的乘法表中可以找到答案。讲到这,大部分孩子都无隔地在课堂上掌握了学习内容。
上节课,大国老师让孩子们分别画了在不同象限的方,并留下家庭作业,今天没问娃娃们完成得如何?进入“点与方”的学习前,我心里还是在犯嘀咕的,孩子们能理解吗?在某个点卡住了,怎么办?可以说,有担忧,又期待,更多的是期待。
进入课堂,看娃们一小时四十分钟在大国老师的引导下,一步步往下,跟着这个节奏,我随时走到娃们面前看他们如何做题,已全然忘了还有什么要担忧的。这堂课,可以感觉到孩子们做题做得很过瘾。这就是孙老师指导的阴阳数学课,这样的数学课堂并不倡导老师多讲授,而是要求老师稍作讲解,适可而止,给孩子足够的空间去想、去做。
这是今天课堂孩子们完成的学习内容:
点
标数
方
象限
阴阳
积
P
(3,2)
3×2
1
+
+6
K
(-3,2)
-3×2
2
-
-6
A
(2,4)
2×4
1
+
+8
A’
(-2,4)
-2×4
2
-
-8
这就是在学乘法
04
和上学期一样,一堂课,讲课的老师有双重身份。站在台前,即是娃娃们的老师,给孩子们讲课;又是孙老师的学生,接受孙老师的随堂指导。下课后,孙老师边走边和听课的家长聊天,大家聊得兴致盎然。如果不是在课堂中,伴着娃娃们一分钟一分钟度过,看着他们一点点通过练习与老师引导,从不会到会;那么即使是数学不错的家长,可能也难以将这堂课的内容清晰地带给孩子。一位爸爸课后感慨,上好这堂课,老师要清晰、严谨、形象。
当讲到这儿时:画A(x,y)关于y轴的对称点A',A'(-x,y), ? 不变, ?相反?
娃们有些懵了。看点的标数画相应规格的方,娃们基本上会了,昨天的家庭作业接着练习关于xy轴的对称点,可是讲这里面蕴含的规律总结成一句话的概念,在这儿有些接不上了。
孙老师果断地走上讲台,让大家站起来,平展手臂。
转动右胳膊至左边,可以看到右手手心变手背(阳变阴,+变-);转动左胳膊至右边,可以看到左手手心变手背(阳变阴,+变-)。
反复做几次,娃们的感受越来越清楚了,虽然一时说不出来,但他们用身体觉知到:当我们站立,平展手臂时,人就成为了直角坐标,身体为y轴的话,y不变,x的阴阳有变,正好相反。同此道理,运用手臂上下摆动,可以看到x轴上的对称点,x不变,y相反。
如果不是将小学到初中数学教学内容熟稔于心,如果不是看到数学中的阴阳变化一以贯之,孙老师也将难以带娃们轻松的跨过这个卡点。正是因为孙老师有这样的底气,相信基础数学的框架已在老师心里无数次切磋琢磨,他站在台前的态度才这么笃实。也正是老师的这种态度,带领老师家长们重新学数学,带领娃们不自觉地走上一条前所未有的数学学习之道。
黄老师介绍了一种学习方法,向一位老师学习,首先学习他的思维方法。无疑,一位年近八十岁的老教师,在基础数学教育这条路上探索多年,老师长久以来形成思维的方式,远不是我们通过现有的认识,去分析思考再考虑就能完全明白的。
如果没有对老师的信任,没有将已熟悉的学习经验放下的勇气,恐怕不在第五十次质疑中退却,就在第九十九次质疑中退却。
站在师范门口,我请教孙老师:这个版块学习乘法,为什么讲象限了?
孙老师说:这就是在学乘法呀,四个象限,乘法中的各种变化都有了。
我明白了,我还停留在九九乘法表里,想着如何熟练地运用乘法计算,而孙老师已将乘法放在二维空间,与未来要学习的函数融为一体,并开始垫定基础了。
一步步做出来了
05
今天星期三,数学版块进入第二周第三天。前几堂课围绕象限展开,第七堂课“方与乘”,且看娃们这堂课做了些什么。
一开课,做一道练习题,根据点画方:A(10,10);B(+2,10);C(10,+3); D(+2,+3)。
为什么有的正数写正号,有的正数不写正号呢?昨天错过了数学备课,一看到这组数字,一时没明白这份用意。大国老师叫来四位同学在黑板上画出这四个方(图一),这对孩子们而言比较容易,要注意的是横、纵轴数的顺序,别把横轴x上的数写到纵轴上去了。
(图一)
四个方画好了,再请四位同学把不同规格方的积写出来(图二)
(图二)
最后请一位同学把四个方的积加起来。
好,第一部分完成得很顺利。接下来很快的过这几个题,为之后的运算做个小铺垫。孩子们接受得比想象中要快。
1×10=10
2×10=20
10×10=100
11×10=110
200×10=2000
接着再问一次,图二中四个方,它们的积之和是多少?不用四个方,一个方怎么做?(图三,分步完成的图)。画方求和可以分几步:
1、图三有几个方?
2、把四个方的积写出来。
3、算出它们的和。(100+20+30+6=156)
(图三)
再看一个题:11×12=? 看看详细图解,如下:
11×12=132,是不是一目了然?
乘法还可这么算:11×13=? 图解如下:
娃们看着一步步最后得到答案,高兴地说:“好好玩!”又觉得惊奇:“真的做出来了!”
这堂课还没完,趁热打铁,大国老师又结合数的阴阳变化,出了带负号的乘法题。看有的孩子居然可以清楚的区分(-2)+(-3)=(-5)和(-2)×(-3)=6,实在是没法说清孩子是怎么做到的,有孩子确实是做对了。下堂课讲继续练习巩固。
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