古代的人如何运算数学的加减乘除
因为他们那时没有+-*/
1个回答
算筹
根据史书的记载和考古材料的发现,古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子,一般长为13--14cm,径粗0.2~0.3cm,多用竹子制成,也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的,大约二百七十几枚为一束,放在一个布袋里,系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候,就把它们取出来,放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子,在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明,也同样经历了一个漫长的历史发展过程。
在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示单位数目的,其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示,6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。
算筹的出现年代已经不可考,但据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年(公元前722年~公元前221年),一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。
算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时,现在已经不可查考了,但至迟到春秋战国;算筹的使用已经非常普遍了。前面说过,算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子,那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢?
那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢?这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制,又称十进位值制,包含有两方面的含义。其一是"十进制",即每满十数进一个单位,十个一进为十,十个十进为百,十个百进为千……其二是"位值制,即每个数码所表示的数值,不仅取决于这个数码本身,而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码"2",放在个位上表示2,放在十位上就表示20,放在百位上就表示200,放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中,就已经有了十进位值制的荫芽,到了算筹记数和运算时,就更是标准的十进位值制了。
按照中国古代的筹算规则,算筹记数的表示方法为:个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式,千位再用横式,万位再用纵式……这样从右到左,纵横相间,以此类推,就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换,且每一位都有固定的摆法,所以既不会混淆,也不会错位。毫无疑问,这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。
中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较,其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制,只有七个基本符号,如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制,但用的是20进位;古巴比伦人也知道位值制,但用的是60进位。20进位至少需要19个数码,60进位则需要59个数码,这就使记数和运算变得十分繁复,远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就,在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一",确实是一点也不过分的。
二进制思想的开创国
著名的哲学家数学家莱布尼茨(1646-1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制,不过他认为在此之前,中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。当代的许多科学家认为易经中并不含有复杂的二进制思想,可是这本中国古籍中的一些基本思想和二进制在很大程度上仍然有着千丝万缕的联系。
元始的《灵宝经》里面把阴阳定义为阳是自冬至到夏至的上升的气,阴为从夏至到冬至下降的气,这是对地球周期运动的最简练认识。阴阳是一种物质认识,后来转化为思想方式,反者道之动等等,都是这种思想的表现。从而开创了对立统一的思想方式,实际上计算机的电子脉冲的思想是与之一致的,采样定律也是与之一致的。
《易经》是我国伏羲、周文王等当政者积累观天测算经验而成的关于天象气象和人变易的经典,从八卦到六十四卦,就是二进制三位到六位表达,上世纪八十年代还有四位计算机,可以说,周文王的六十四卦在表达能力上已经高于四位计算机。
十进制的使用
《卜辞》中记载说,商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字,但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中还有奇数、偶数和倍数的概念。
十进位位值制记数法包括十进位和位值制两条原则,"十进"即满十进一;"位值"则是同一个数位在不同的位置上所表示的数值也就不同,如三位数"111",右边的"1"在个位上表示1个一,中间的"1"在十位上就表示1个十,左边的"1"在百位上则表示1个百。这样,就使极为困难的整数表示和演算变得如此简便易行,以至于人们往往忽略它对数学发展所起的关键作用。
我们有个成语叫"屈指可数",说明古代人数数确实是离不开手指的,而一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制(这一进位制到现在仍留有痕迹,如一分=60秒等)另外还有采用二十进位制的。古代埃及倒是很早就用10进位制,但他们却不知道位值制。所谓位值制就是一个数码表示什么数,要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法,且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则,比如一百二十七。同时我们对0的认识最早。
十进制是中国人民的一项杰出创造,在世界数学史上有重要意义。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价,"如果没有这种十进制,就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了",李约瑟说"总的说来,商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。"
分数和小数的最早运用
分数的应用
最初分数的出现,并非由除法而来。分数被看作一个整体的一部分。"分"在汉语中有"分开""分割"之意。后来运算过程中也出现了分数,它表示两整数比。分数的加减乘除运算我们小学就已完全掌握了。很简单,是不是?不过在七、八百年以前的欧洲,如果你有这种水平那么就可以说相当了不起了。那时精通自然数的四则运算就已达到了学者水平。至于分数,对当时人来说简直难于上青天。德国有句谚语形容一个人陷入绝境,就说:"掉到分数里去了"。为什么会如此呢?这都是笨拙的记数法导致的。在我国古代,《九章算术》中就有了系统的分数运算方法,这比欧洲大约早1400年。
西汉时期,张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识,编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中,提出了完整的分数运算法则。
从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道,在《九章算术》中,讲到约分、合分(分数加法)、减分(分数减法)、乘分(分数乘法)、除分(分数除法)的法则,与我们现在的分数运算法则完全相同。另外,还记载了课分(比较分数大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的系统叙述分数的著作。
分数运算,大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为,这种算法起源于印度。实际上,印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则,这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年(263年),所以,即使与刘徽的时代相比,我们也要比印度早400年左右。
小数的最早使用
刘徽在《九章算术注》中介绍,开方不尽时用十进分数(徽数,即小数)去逼近,首先提出了关于十进小数的概念。到公元1300年前后,元代刘瑾所著《律吕成书》中,已将1063****.6312写成
把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台汶直到1585年才有十进小数的概念,且他的表示方法远不如中国先进,如上述的小数,他记成或1063****。
九九表的使用
作为启蒙教材,我们都背过九九乘法表:一一得一、一二得二……九九八十一。而古代是从"九九八十一"开始,因此称"九九表"。九九表的使用,对于完成乘法是大有帮助的。齐恒公纳贤的故事说明,到公元前7世纪时,九九歌诀已不希罕。也许有人认为这种成绩不值一提。但在古代埃及作乘法却要用倍乘的方式呢。举个例子。如算23×13,就需要从23开始,加倍得到23×2,23×4,23×8,然后注意到13=1+4+8,于是23+23×4+23×8加起来的结果就是23×13。从比较中不难看出使用九九表的优越性了。
根据考古专家在湖南张家界古人堤汉代遗址出土的简牍上发现的汉代"九九乘法表",竟与现今生活中使用的乘法口诀表有着惊人的一致。这枚记载有"九九乘法表"的简牍是木质的,大约有22厘米长,残损比较严重。此前在湘西里耶古城出土的一枚秦简上也发现了距今2200多年的乘法口诀表,并被考证为中国现今发现的最早的乘法口诀表实物。
除了里耶秦简外,与张家界古人堤遗址发现的这枚简牍样式基本一致的"九九乘法表"还曾在楼兰文书中见到过,那是写在两张残纸上的九九乘法表,为瑞典探险家斯文赫定在上个世纪初期发掘。
乘法表在古代并非中国一家独有,古巴比伦的泥版书上也有乘法表。但汉字(包括数目字)单音节发声的特点,使之读起来朗朗上口;后来发展起来的珠算口诀也承继了这一特点,对于运算速度的提高和算法的改进起到一定作用。
负数的使用
人们在解方程或其它数的运算过程中,往往要碰到从较小数减去较大数的情形,另外,还遇到了增加与减小,盈余与亏损等互为相反意义的量,这样,人们自然地引进了负数。
负数的引进,是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。在我国古代秦、汉时期的算经《九章算术》的第八章"方程"中,就自由地引入了负数,如负数出现在方程的系数和常数项中,把"卖(收入钱)"作为正,则"买(付出钱)"作为负,把"余钱"作为正,则"不足钱"作为负。在关于粮谷计算的问题中,是以益实(增加粮谷)为正,损实(减少粮谷)为负等,并且该书还指出:"两算得失相反,要以正负以名之"。当时是用算筹来进行计算的,所以在算筹中,相应地规定以红筹为正,黑筹为负;或将算筹直列作正,斜置作负。这样,遇到具有相反意义的量,就能用正负数明确地区别了。
在《九章算术》中,除了引进正负数的概念外,还完整地记载了正负数的运算法则,实际上是正负数加减法的运算法则,也就是书中解方程时用到的"正负术"即"同名相除,异名相益,正无入正之,负无入负之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。"这段话的前四句说的是正负数减法法则,后四句说的是正负数加法法则。它的意思是:同号两数相减,等于其绝对值相减;异号两数相减,等于其绝对值相加;零减正数得负数,零减负数得正数。异号两数相加,等于其绝对值相减;同号两数相加,等于其绝对值相加;零加正数得正数,零加负数得负数,当然,从现代数学观点看,古书中的文字叙述还不够严谨,但直到公元17世纪以前,这还是正负数加减运算最完整的叙述。
在国外,负数出现得很晚,直至公元1150年(比《九章算术》成书晚l千多年),印度人巴土卡洛首先提到了负数,而且在公元17世纪以前,许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达,尽管在代数方面作出了巨大贡献,但他在解方程时却极力回避负数,并把负根统统舍去。有许多数学家由于把零看作"没有",他们不能理解比"没有"还要"少"的现象,因而认为负数是"荒谬的"。直到17世纪,笛卡儿创立了坐标系,负数获得了几何解释和实际意义,才逐渐得到了公认。
从上面可以看出,负数的引进,是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。负数概念引进后,整数集和有理数集就完整地形成了。
圆周率的计算
圆周率是数学中最重要的常数之一。对它的计算,可以作为显示出一个国家古代数学发展的水平的尺度之一。而我国古代数学在这方面取得了令世人瞩目的成绩。
我国古代最初把圆周率取作3,这虽应用起来简便,但太不准确。在求准确圆周率值的征途中,首先迈出关键一步的是刘徽。他创立割圆术,用圆内接正多边形无限逼近圆而求取圆周率值。用这种方法他求得圆周率的近似值为3.14,也有人认为他得到了更好的结果:3.1416。青出于蓝,而胜于蓝。后继者祖冲之利用割圆术得出了正确的小数点后七位。而且他还给出了约率与密率。密率的发现是数学史上卓越的成就,保持了一千多年的世界纪录,是一项空前杰作。
根据史书的记载和考古材料的发现,古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子,一般长为13--14cm,径粗0.2~0.3cm,多用竹子制成,也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的,大约二百七十几枚为一束,放在一个布袋里,系在腰部随身携带。需要记数和计算的时候,就把它们取出来,放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子,在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明,也同样经历了一个漫长的历史发展过程。
在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示单位数目的,其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示,6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空。这种计数法遵循十进位制。
算筹的出现年代已经不可考,但据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年(公元前722年~公元前221年),一直到算盘发明推广之前都是中国最重要的计算工具。
算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。它最早出现在何时,现在已经不可查考了,但至迟到春秋战国;算筹的使用已经非常普遍了。前面说过,算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子,那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢?
那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢?这就是因为十进位制的需要了。所谓十进位制,又称十进位值制,包含有两方面的含义。其一是"十进制",即每满十数进一个单位,十个一进为十,十个十进为百,十个百进为千……其二是"位值制,即每个数码所表示的数值,不仅取决于这个数码本身,而且取决于它在记数中所处的位置。如同样是一个数码"2",放在个位上表示2,放在十位上就表示20,放在百位上就表示200,放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中,就已经有了十进位值制的荫芽,到了算筹记数和运算时,就更是标准的十进位值制了。
按照中国古代的筹算规则,算筹记数的表示方法为:个位用纵式,十位用横式,百位再用纵式,千位再用横式,万位再用纵式……这样从右到左,纵横相间,以此类推,就可以用算筹表示出任意大的自然数了。由于它位与位之间的纵横变换,且每一位都有固定的摆法,所以既不会混淆,也不会错位。毫无疑问,这样一种算筹记数法和现代通行的十进位制记数法是完全一致的。
中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造。把它与世界其他古老民族的记数法作一比较,其优越性是显而易见的。古罗马的数字系统没有位值制,只有七个基本符号,如要记稍大一点的数目就相当繁难。古美洲玛雅人虽然懂得位值制,但用的是20进位;古巴比伦人也知道位值制,但用的是60进位。20进位至少需要19个数码,60进位则需要59个数码,这就使记数和运算变得十分繁复,远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便。中国古代数学之所以在计算方面取得许多卓越的成就,在一定程度上应该归功于这一符合十进位制的算筹记数法。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位记数法为"最妙的发明之一",确实是一点也不过分的。
二进制思想的开创国
著名的哲学家数学家莱布尼茨(1646-1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制,不过他认为在此之前,中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。当代的许多科学家认为易经中并不含有复杂的二进制思想,可是这本中国古籍中的一些基本思想和二进制在很大程度上仍然有着千丝万缕的联系。
元始的《灵宝经》里面把阴阳定义为阳是自冬至到夏至的上升的气,阴为从夏至到冬至下降的气,这是对地球周期运动的最简练认识。阴阳是一种物质认识,后来转化为思想方式,反者道之动等等,都是这种思想的表现。从而开创了对立统一的思想方式,实际上计算机的电子脉冲的思想是与之一致的,采样定律也是与之一致的。
《易经》是我国伏羲、周文王等当政者积累观天测算经验而成的关于天象气象和人变易的经典,从八卦到六十四卦,就是二进制三位到六位表达,上世纪八十年代还有四位计算机,可以说,周文王的六十四卦在表达能力上已经高于四位计算机。
十进制的使用
《卜辞》中记载说,商代的人们已经学会用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这13个单字记十万以内的任何数字,但是现在能够证实的当时最大的数字是三万。甲骨卜辞中还有奇数、偶数和倍数的概念。
十进位位值制记数法包括十进位和位值制两条原则,"十进"即满十进一;"位值"则是同一个数位在不同的位置上所表示的数值也就不同,如三位数"111",右边的"1"在个位上表示1个一,中间的"1"在十位上就表示1个十,左边的"1"在百位上则表示1个百。这样,就使极为困难的整数表示和演算变得如此简便易行,以至于人们往往忽略它对数学发展所起的关键作用。
我们有个成语叫"屈指可数",说明古代人数数确实是离不开手指的,而一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用似乎应该是极其自然的事。但实际情况并不尽然。在文明古国巴比伦使用的是60进位制(这一进位制到现在仍留有痕迹,如一分=60秒等)另外还有采用二十进位制的。古代埃及倒是很早就用10进位制,但他们却不知道位值制。所谓位值制就是一个数码表示什么数,要看它所在的位置而定。位值制是千百年来人类智慧的结晶。零是位值制记数法的精要所在。但它的出现却并非易事。我国是最早使用十进制记数法,且认识到进位制的国家。我们的口语或文字表达的数字也遵守这一原则,比如一百二十七。同时我们对0的认识最早。
十进制是中国人民的一项杰出创造,在世界数学史上有重要意义。著名的英国科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价,"如果没有这种十进制,就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了",李约瑟说"总的说来,商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进更为科学。"
分数和小数的最早运用
分数的应用
最初分数的出现,并非由除法而来。分数被看作一个整体的一部分。"分"在汉语中有"分开""分割"之意。后来运算过程中也出现了分数,它表示两整数比。分数的加减乘除运算我们小学就已完全掌握了。很简单,是不是?不过在七、八百年以前的欧洲,如果你有这种水平那么就可以说相当了不起了。那时精通自然数的四则运算就已达到了学者水平。至于分数,对当时人来说简直难于上青天。德国有句谚语形容一个人陷入绝境,就说:"掉到分数里去了"。为什么会如此呢?这都是笨拙的记数法导致的。在我国古代,《九章算术》中就有了系统的分数运算方法,这比欧洲大约早1400年。
西汉时期,张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识,编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中,提出了完整的分数运算法则。
从后来刘徽所作的《九章算术注》可以知道,在《九章算术》中,讲到约分、合分(分数加法)、减分(分数减法)、乘分(分数乘法)、除分(分数除法)的法则,与我们现在的分数运算法则完全相同。另外,还记载了课分(比较分数大小)、平分(求分数的平均值)等关于分数的知识,是世界上最早的系统叙述分数的著作。
分数运算,大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为,这种算法起源于印度。实际上,印度在七世纪婆罗门笈多的著作中才开始有分数运算法则,这些法则都与《九章算术》中介绍的法则相同。而刘徽的《九章算术注》成书于魏景元四年(263年),所以,即使与刘徽的时代相比,我们也要比印度早400年左右。
小数的最早使用
刘徽在《九章算术注》中介绍,开方不尽时用十进分数(徽数,即小数)去逼近,首先提出了关于十进小数的概念。到公元1300年前后,元代刘瑾所著《律吕成书》中,已将1063****.6312写成
把小数部分降低一行写在整数部分的后边。而西方的斯台汶直到1585年才有十进小数的概念,且他的表示方法远不如中国先进,如上述的小数,他记成或1063****。
九九表的使用
作为启蒙教材,我们都背过九九乘法表:一一得一、一二得二……九九八十一。而古代是从"九九八十一"开始,因此称"九九表"。九九表的使用,对于完成乘法是大有帮助的。齐恒公纳贤的故事说明,到公元前7世纪时,九九歌诀已不希罕。也许有人认为这种成绩不值一提。但在古代埃及作乘法却要用倍乘的方式呢。举个例子。如算23×13,就需要从23开始,加倍得到23×2,23×4,23×8,然后注意到13=1+4+8,于是23+23×4+23×8加起来的结果就是23×13。从比较中不难看出使用九九表的优越性了。
根据考古专家在湖南张家界古人堤汉代遗址出土的简牍上发现的汉代"九九乘法表",竟与现今生活中使用的乘法口诀表有着惊人的一致。这枚记载有"九九乘法表"的简牍是木质的,大约有22厘米长,残损比较严重。此前在湘西里耶古城出土的一枚秦简上也发现了距今2200多年的乘法口诀表,并被考证为中国现今发现的最早的乘法口诀表实物。
除了里耶秦简外,与张家界古人堤遗址发现的这枚简牍样式基本一致的"九九乘法表"还曾在楼兰文书中见到过,那是写在两张残纸上的九九乘法表,为瑞典探险家斯文赫定在上个世纪初期发掘。
乘法表在古代并非中国一家独有,古巴比伦的泥版书上也有乘法表。但汉字(包括数目字)单音节发声的特点,使之读起来朗朗上口;后来发展起来的珠算口诀也承继了这一特点,对于运算速度的提高和算法的改进起到一定作用。
负数的使用
人们在解方程或其它数的运算过程中,往往要碰到从较小数减去较大数的情形,另外,还遇到了增加与减小,盈余与亏损等互为相反意义的量,这样,人们自然地引进了负数。
负数的引进,是中国古代数学家对数学的一个巨大贡献。在我国古代秦、汉时期的算经《九章算术》的第八章"方程"中,就自由地引入了负数,如负数出现在方程的系数和常数项中,把"卖(收入钱)"作为正,则"买(付出钱)"作为负,把"余钱"作为正,则"不足钱"作为负。在关于粮谷计算的问题中,是以益实(增加粮谷)为正,损实(减少粮谷)为负等,并且该书还指出:"两算得失相反,要以正负以名之"。当时是用算筹来进行计算的,所以在算筹中,相应地规定以红筹为正,黑筹为负;或将算筹直列作正,斜置作负。这样,遇到具有相反意义的量,就能用正负数明确地区别了。
在《九章算术》中,除了引进正负数的概念外,还完整地记载了正负数的运算法则,实际上是正负数加减法的运算法则,也就是书中解方程时用到的"正负术"即"同名相除,异名相益,正无入正之,负无入负之;其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。"这段话的前四句说的是正负数减法法则,后四句说的是正负数加法法则。它的意思是:同号两数相减,等于其绝对值相减;异号两数相减,等于其绝对值相加;零减正数得负数,零减负数得正数。异号两数相加,等于其绝对值相减;同号两数相加,等于其绝对值相加;零加正数得正数,零加负数得负数,当然,从现代数学观点看,古书中的文字叙述还不够严谨,但直到公元17世纪以前,这还是正负数加减运算最完整的叙述。
在国外,负数出现得很晚,直至公元1150年(比《九章算术》成书晚l千多年),印度人巴土卡洛首先提到了负数,而且在公元17世纪以前,许多数学家一直采取不承认的态度。如法国大数学家韦达,尽管在代数方面作出了巨大贡献,但他在解方程时却极力回避负数,并把负根统统舍去。有许多数学家由于把零看作"没有",他们不能理解比"没有"还要"少"的现象,因而认为负数是"荒谬的"。直到17世纪,笛卡儿创立了坐标系,负数获得了几何解释和实际意义,才逐渐得到了公认。
从上面可以看出,负数的引进,是我国古代数学家贡献给世界数学的一份宝贵财富。负数概念引进后,整数集和有理数集就完整地形成了。
圆周率的计算
圆周率是数学中最重要的常数之一。对它的计算,可以作为显示出一个国家古代数学发展的水平的尺度之一。而我国古代数学在这方面取得了令世人瞩目的成绩。
我国古代最初把圆周率取作3,这虽应用起来简便,但太不准确。在求准确圆周率值的征途中,首先迈出关键一步的是刘徽。他创立割圆术,用圆内接正多边形无限逼近圆而求取圆周率值。用这种方法他求得圆周率的近似值为3.14,也有人认为他得到了更好的结果:3.1416。青出于蓝,而胜于蓝。后继者祖冲之利用割圆术得出了正确的小数点后七位。而且他还给出了约率与密率。密率的发现是数学史上卓越的成就,保持了一千多年的世界纪录,是一项空前杰作。
相关问答
小学加减乘除运算定律
加法交换律:a+b=b+a 乘法交换律:ab=ba 结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 结合律:(ab)...
全文加减乘除混合运算题
1.混合运算的顺序:加减乘除四则运算分为两级,加法和减法叫做第一级运算,乘法和除法叫做第二级运算. 2.在没有括号的算式里,运算顺序分以下两种情况: (1)在一个运算里,如果只含有同一级运算,要按从左...
全文小学加减乘除运算定律
加法 1.加法交换律:a+b = b+a 两个数相加,交换加数的位置,和不变。 2.加法结合律:a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c) 三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数相加,或者...
全文加减乘除怎么运算?
加减乘除先算乘除再算加减。 加减乘除法是基本的四则运算,符号依次为“+-×÷”,在没有括号的情况下,运算顺序为先乘除,再加减。有括号的要先算括号内的,后算括号外的。如果括号内也有加减乘除的运算,则...
全文加减乘除怎么运算?
乘除法从左到右依次运算,乘除和加减同时存在时先算乘除,再算加减,存在括号时,先算括号内部的。 一、乘法和除法 乘法就是指相同的数加起来的快捷方式,比如3×2就是两个3或者三个2加在一起,5×4就是4...
全文小学加减乘除运算定律
小学加减乘除运算定律如下: 1、从左到右,先乘除后加减,有括号则先计算括号里面的。 2、括号里面运算也遵循从左到右,先乘除后加减的原则。 3、如果大括号,中括号,小括号同时存在,则遵循先计算小括...
全文小学加减乘除混合运算
1723-1152/32 (8.2+4.36)*1.5 1250+205*34 3270+135*37 8402-...
全文加减乘除混合运算讲解
加减乘除混合运算时,要先算乘除,后算加减,有括号的要先算括号内的数。 5+3×5 =5+15 =20 (5+3)×5 =8×5 =40
加减乘除算不算成语
算。 加减乘除 jiā jiǎn chéng chú [释义] 算术的四则运算,借指事物的消长变化 [语出] 明·王九思《端正好·次韵赠邵晋夫归隐》:“端的是太平人物,谁想道命儿中加减乘除。”
扫码下载APP
听书听课听播客,随时随地陪伴你
热门问答
- 1周深唱叮咚是第几集
- 2水车是谁发明的
- 3泪水和汗水的励志名言
- 4读这本书认识了什么
- 5有关象棋的名言
- 6我最喜欢的一本书
- 7请教农村盖房子风水大师
- 8当代著名的禅宗高僧有哪些
- 9皮尔洛的背景
- 10中国象棋名人?
- 11关于人生挫折的励志名言!
- 12有个做宣纸的工人叫什么很多画家指定要他做的纸
- 13家有仙妻最后手镯哪里去了
- 14司马相如列传典故?
- 15米春茂的介绍
- 16李彪的人物经历
- 17明星结几次婚,恋爱史很辉煌,是否风光背后其实凄凉
- 18诸葛亮最后是怎么死的
- 19王达的介绍
- 20杂牌mp3固件
- 21关于水的名言和事例
- 22武术馆名字大全集?
- 23李光地故居在哪?
- 24关于主题班会开场白~!!
- 25搜集所有悲惨坎坷成长经历的名人.!!!
- 26上礼拜四带孩子串门回来
- 27小孩干咳嗽
- 28水晶之恋什么意思
- 29品牌故事应该怎么写?编个故事就可以吗?
- 30朱松的相关
热门搜索更多
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- 爱奇艺有声小说故事会
- 鳌婿在线有声小说
- 爱情供养有声小说
- 暗黑终结者
- 爱是向阳而生有声小说
- 爱在秋天有声小说
- 爱你蓄谋已久卓禹安
- 傲世丹神有声小说背景音乐
- 艾宝良摸金玦之鬼门天师有声小说
- 阿凡提的故事全集
- 奥术神座有声读物
- audible有声书为什么是英文
- 傲娇总裁的逃婚妻有声小说
- 安徒生童话美人鱼
- 傲世九重天有声小说播音双语
- 阿衰爆笑故事
- 阿弥陀佛的一封家书有声书
- 爱你是最好的时光小说
- 爱情合约有声小说
- 安徽专升本语文
- 安徒生儿童有声小说
- 爱听网有声小说怎么全下
- 奥特曼卡片介绍
- 暗黑裁决者有声书
- 艾宝良有声京味小说
- 阿耐有声小说
- 爱迪生日记有声小说
- 安迪的史前冒险
- 爱你是我一生的承诺
- 爱宝良全部有声小说
- 帮助爸妈做家务儿歌
- 八年级上册英语10单元2b
- 背起背包去旅行儿歌
- 贝瓦儿歌2366
- 八年级上次英语第4课
- 八年级下册英语10单元2c
- 拨浪鼓儿歌原创
- 白龙马儿歌原唱单曲播放
- 八年级上册英语全部2b翻译
- 豹纹守宫儿歌
- 白兰鸽儿歌
- 北路虎儿歌
- 八年级英语5单元作文
- 八年级上册英语1单元2c朗读
- 八年级下册英语对话2d语音
- 播放关于节日的诗歌儿歌
- 八年级上册英语42面2d
- 布兰兰姐姐儿歌
- 八年级英语上册9单元2b
- 爸爸的好儿歌歌词大全集
- 爸爸带娃娃去抓鱼儿歌
- 播放屏幕照片儿歌
- 播放孩子听的英语儿歌
- 贝瓦儿歌99999乘法表
- 八年级下英语22页2d
- 宝宝儿歌早教讲故事小班
- 八年级下u1英语听力训练
- 八年级上册4单元英语朗诵
- 贝乐虎儿歌跳绳歌
- 八年级英语下单词5
- 菜京云数来宝
- 曹云金的团队说相声
- 常宝华郭德纲相声大全
- 苍南渔鼓桥墩诗灵溪
- 传统古典评书小说
- 沧州任丘大鼓的来历
- 曹云金郭德纲岳云鹏的相声
- 春节相声叫卖
- 曾国藩评书9
- 常宝华相声昨天今天
- 测试你相声界的艺名软件
- 陈曦最新相声完整版
- 差错说书人内容
- 慈溪评书陈金木七
- 常德大鼓熊波涛
- 成人快板短训班
- 仇英俊相声吃元宵
- 传统评书等级划分
- 炊事班相声稿
- 曹云金经典相声打灯
- 宸汐缘豆瓣评书
- 穿越都市明星说相声
- 晨起床操案例分享
- 传统相声的定义
- 崔四的东北二人转哭戏
- 成年相声段子
- 创作了报菜名的相声演员
- 初中三年级数学上册知识
- 曹云金经典相声快乐男声
- 词曲弹词苏州好风光
- 德云社相声没主题
- 大兵相声完整版买鸭蛋
- 读书颂快板
- 大鼓京戏打法
- 苖阜王声最新相声
- 动画相声诗歌与爱情
- 德云社周培岩相声
- 东北大鼓书六祖慧能第二季
- 东北夜场二人转搞笑完整版
- 德云社十大恶搞相声
- 大明演义02评书
- 东北往事评书一部
- 大鼓和小铃打击乐教案
- 单田芳评书曾国藩194
- 德州大鼓张志云
- 单弦开扇
- 单弦上的音阶模进
- 笛子小放牛快板
- 德云社相声专场墨尔本专场
- 东北二人转大拜年歌曲
- 东北二人转摘石榴
- 单弦音乐博客
- 单田芳评书李元霸锤震
- 大兵相声如何教子
- 德云社相声剧大闹天宫
- 点评李寅飞叶蓬相声有新人
- 打砂锅剧本相声
- 东北二人转旋风刚子
- 大嘴哥相声专场
- 单田芳的评书风尘豪客70
- 二人转芬姐
- 二人转艺术理解
- 二人转玲声
- 二人转张可的脚
- 二人转张生写书冯涛
- 二人转非遗传承
- 二人转女的一直说
- 二人转经典对唱
- 二人转玲珑塔
- 二人转朱兴鹏多大
- 二人搞笑相声引出舞蹈
- 二人转正戏王玲
- 二人转于晓燕
- 儿童相声傻子念书
- 二人转八岁红向阳全集
- 二战评书孙一完整版
- 二人转神曲
- 二人转观花存伴奏
- 二人转总动员少儿组第8场
- 二人转纱巾扇歌词
- 二人转魏三哭七关完整版
- 二人转低音炮
- 二人转演员衣服
- 二人转二十四孝潘虹
- 俄洛大鼓
- 二人转闫学晶赵本山范伟
- 二人转老艺人程喜发
- 二手音响旧货市场南宁
- 二人转大西厢孙忠宏
- 二人转铁哥
- 分子筛的使用寿命
- 樊登读书哪里可以免费听
- 飞碟说恋爱全集
- 佛家的人生八苦
- 复习资料七年级
- 菲梦少女歌曲向你奔跑歌词
- 发祥福邸二手房
- 放风筝的作文怎么写
- 放血的好处与功效
- 茯苓不适合哪些人群
- 丰乐镇
- 非常帮助
- 奉子为婚小说
- 风水诡事
- 封墨言杨千语免费阅读全文
- 分数的脱式计算加减法
- 方位名词的英语
- 福尔摩斯中的名句
- 粉红的回忆dj
- 风火轮是什么梗
- 发电机的工作原理
- 凤凰落在梧桐树
- 凤勾情弃后独步天下全文免费阅读
- 飞星寻龙粤语全集
- 放烟花英语翻译
- 疯狂的麦克斯4电影
- 封神演义小说在线听
- 放不下的情缘歌曲
- 分手之后适合听的歌
- 飞亚达
- 国旗下的礼仪演讲稿
- 国产少年励志演讲
- 关于认识自己的英语演讲
- 搞笑演讲稿童年趣事
- 贵州工业发展情况演讲比赛
- 感恩的演讲稿开头
- 高二励志演讲听后感
- 公众演讲陈
- 国企团员活动演讲稿范文
- 公安类演讲稿
- 关于污垢的演讲
- 改变世界的3大演讲
- 关于呼啸山庄演讲稿
- 个个出力演讲稿
- 感恩拥抱演讲稿
- 关于平等的演讲
- 观众对于演讲的反馈意见
- 关于交易中心演讲稿
- 关于幸福英语演讲
- 广州卫视跨年演讲2022
- 国际级演讲大师名单
- 广州环境保护演讲稿
- 歌颂祖国演讲稿题目
- 感恩演讲稿2018
- 古代文学的演讲内容包括
- 管理创新演讲
- 关于团的演讲稿
- 高兵美育演讲视频
- 关于战争的演讲
- 关于记忆的总结的演讲
- 哈佛大学硕士英语启蒙
- 黄臣燕英语初三
- 湖南7年级英语课本单词
- 沪教版7年级英语上册
- 海淀7年级英语期末试卷
- 贺兰启蒙英语怎么说
- 沪教牛津版7年级英语
- 韩老师英语启蒙热身歌曲
- 孩子英语阅读怎么启蒙好
- 红缅因颜色英语启蒙儿歌
- 河北保定英语初二上册
- 皇室英语启蒙儿歌大全简单
- 河北版七年级英语听力下册
- 核桃麻麻英语启蒙bq
- 活力四射英语启蒙
- 华尔街英语启蒙早教水果
- 缓解英语启蒙歌曲有哪些
- 孩子进行英语启蒙的误区
- 好看的英语启蒙音乐盒
- 葫芦的英文儿歌启蒙英语
- 沪教版英语七年级听力音频
- 河北区英语启蒙哪里好
- 孩子玩积木英语启蒙口语
- 孩子英语启蒙该几岁开始
- 海豚的英语启蒙怎么读音
- 孩子有必要启蒙英语吗
- 华一初三月考英语听力音频
- 海淀区儿童启蒙英语
- 合肥淮河路小学一年级有英语吗
- 孩子英语启蒙成功的句子
- 九十年代经典小说
- 九武至尊小说
- 将换行替换成逗号
- 九焰至尊全本小说阅读
- 今年排名前十的网络小说
- 将血皮皮小说
- 尽我余生许你安好小说
- 举案齐眉刘水水
- 捡东西的小说
- 蒋家小厨娘
- 家庭交换乱来小说全集
- 建造塔防类小说
- 旧情人溯流回川
- 借给我你的光小说
- 简单阅读小说app
- 解梦大师在娱乐圈小说
- 纪晓芸风离痕的小说叫什么名
- 经典微型小说600字
- 结合作品分析乡土小说的内容
- 讲述孤独的小说
- 教授抑制剂要吗资源
- 九鼎记小说天下
- 绝世唐门21小说
- 绝世星魂小说
- 精灵宝可梦相关小说
- 讲述希腊神的小说
- 精彩嗨劲小说
- 极道至尊下载奇书
- 极乐神教在线阅读
- 纪开怀全部小说下载
- 可以在班里唱的儿歌
- 看大戏儿歌伴奏谱
- 开心最重要快乐最重要儿歌
- 可爱女孩小苹果儿歌
- 开江儿歌
- 课堂儿歌放松律动
- 口袋拼音儿歌英语翻译
- 可爱胡萝卜儿歌
- 哭勇者儿歌
- 开动消防车儿歌
- 可爱儿歌小兔子
- 伉俪情儿歌
- 课前纪律儿歌文字版
- 看儿歌多多音字
- 课桌舞儿歌金曲20首
- 可爱的小猪猪儿歌简谱教唱
- 快乐宝宝吃美食儿歌
- 恐龙动画恐龙儿歌
- 客人来了儿歌小班歌曲简谱
- 开心生气难过表情儿歌
- 可爱的蓝精灵儿歌剧本
- 快乐的小狗小兔子儿歌
- 课堂课前课后儿歌
- 可爱的儿歌曲大全
- 酷酷的女孩儿歌
- 可爱熊猫上幼儿园儿歌
- 考试前调整好状态的儿歌
- 看儿歌多多少点
- 可可小爱儿歌智慧童谣
- 快来拍拍的儿歌早教
- 李白咋样死的
- 廖昌永花非花
- 罗汉果喝的功效有哪些
- 六年级下册必背数学公式
- 拉萨夜雨葫芦丝演奏曲
- 林惜陆言深免费阅读
- 罗胖60秒合集
- 荔枝营养
- 蜡笔小新10季全集
- 廉颇蔺相如列传阅读题及答案
- 六零年代好生活全文免费阅读
- 楼层的英语
- 绿檀手串的功效与作用
- 流行歌曲唱法
- 老君山旅游团报团
- 楞严咒读诵诵
- 莱西旅游景点
- 林冲的性格分析
- 六爻断语速查大全
- 龙族 下载
- 李渔笠翁对韵
- 刘伯温是刘邦后代吗
- 朗诵珍惜配乐
- 六年级下册英语重点句型
- 鲁滨逊漂流记作文600字
- 励志读书的短句
- 刘秀传田连元在线播放
- 琅琊榜54集免费观看
- 篮球各种比赛
- 洛阳是唐朝的首都吗
- 没有多余的眼泪为你流
- 卖木瓜
- 明亮之光
- 魔电派对
- 每天每夜在期盼
- 面筋歌
- 摩尔之恋
- 马铃响来玉鸟唱
- 妈妈不要走
- 満足できない
- 每日的启示
- 美丽的星期六晚上
- 没忘记
- 慢慢回忆
- 梦想专卖店
- 美目盼兮
- 明明是真的
- 没有你的夜晚好孤单
- 魔女狩り
- 每一滴油都是承诺
- 梦眷
- 梦里梦到的人
- 没事儿
- 魔宗计谋
- 眉眼如画
- 没遮拦追赶及时雨
- 蔓莉我爱你
- 魔鬼狂曲
- 面对这人生
- 玫瑰只为你绽放
- 你好象鳄鱼
- 你的名字就像一个魔咒
- 你像一座山
- 你身边的他
- 女儿湖夜曲
- 你喜欢就好
- 你把我的脸庞转向明天
- 你我都有错
- 男儿有泪不轻弹
- 你必须住院治疗
- 你超越不了的神
- 男女关系
- 女嗓咚鼓
- 那年我们说过的话
- 那时我们还不懂
- 女娲补天
- 你我的一生
- 你并没有那么爱我
- 宁愿锁上
- 你是最美的风景线
- 你爱的是那个她
- 你明明爱我
- 你已进入刺激战场加油
- 你这一辈子
- 能感受到吗
- 内心和平曲
- 拿去当来电铃声
- 难忘的时光
- 能净一切眼疾病陀罗尼
- 南昌的配音
- 欧美小学生英语阅读
- 欧美小学生怎么学英语的
- 欧美小学生英语作业
- 欧文小学生英语
- 偶遇英语小学生
- 欧美小学生说英语
- 欧美小学生 英语 口语
- 偶遇小学生说英语
- 偶遇英语小学生作文
- 欧洲小学生学习英语
- one英语造句小学生
- 瓯北小学生英语
- 欧美小学生学习英语
- ourschool英语作文小学生
- 偶遇小学生英语
- 欧洲小学生英语水平等级
- odi小学生学英语
- 欧洲小学生英语
- 欧美小学生怎么学英语写作
- 欧美小学生英语分级
- 偶遇小学生英语作文
- ok英语作文小学生
- 欧美小学生作业英语
- 欧洲小学生自学英语难吗
- 欧洲小学生英语水平考试
- 欧美小学生怎么学英语好
- 欧美小学生英语
- 偶遇小学生飙英语
- 欧美小学生学英语
- ometv小学生练英语
- 评书简介
- 评书三国演义165回
- 评书小李飞刀第二十六集
- 评书刘利福枪毙刘汉臣
- 评书东周列囤单田芳
- 潘父嫁女二人转
- 评书电影解说
- 评书李自成第二部62
- 评书杨家将夜审潘仁美
- 评书大明英烈06
- 评书三侠剑第十三集
- 潘丽说书班
- 评书封神榜39
- 评书西游记025
- 评书侠客造型
- 攀龙附凤相声
- 评书施公案157
- 评书薛仁贵征东166
- 潘斌龙相声大全
- 评书水浒传99回
- 评书评话专场演出北京上演
- 评书小五义56
- 评书刘兰芳朱元璋演义1
- 萍乡方言相声趣谈
- 评书白眉大侠第一讲
- 评书天龙八部第22回
- 评书三要素
- 评书小翻译
- 评书呼家将70上
- 谱写青春华章快板词
- 青岛车模快板
- 趣味相声单
- 曲艺大鼓特征
- 琴书樊梨花征西10集
- 琴书柳云霞
- 清音阁故事
- 七十年代快板
- 清音三打苏凤英
- 青年女相声演员王慧
- 清音戏陆彩侠
- 秦霄贤相声对联
- 琴书秦英征西续
- 琴书张廷秀四皇
- 乔利英语
- 群山评书全文
- 祁东渔鼓雷齐民
- 秦岚德云社相声
- 祁东归阳渔鼓
- 秦英征西鼓词
- 琴书刘金定与柳蓬松
- 琴书演员谷秀民
- 泉州南音女童
- 琴书呼延庆北国认父全集
- 琴书夫妻对唱
- 群口相声四人英文
- 七年级下数学教案
- 秦香莲二人转戏词
- 祁东最好听的渔鼓
- 琴书金山救母第二集
- 清音茶楼电话
- 人教版英语三年级上册配套练习
- 人教版三年级英语上册abc歌
- 人教版英语晨读每天必读三年级
- 人教版英语三年级上册联习
- 人教版pep小学三年级上册英语
- 如何学会用英语造句三年级
- 人教版三年级上册英语4页
- 人教版三年级上册英语同步练习
- 人教三年级英语下册期中
- 如何奖励三年级孩子学英语
- 人教版英语三年级上册8课
- 人教社会版三年级上册英语
- 人教版英语小学三年级会话
- 人教三年级上册英语28
- 人教版三年级上英语歌曲
- 人教版三年级下册英语unitone单词
- 人教新版三年级下册英语
- 人教版英语三年级下册e学堂
- 仍怎么组词三年级上册英语
- 人教版三年级上册英语歌
- 人教版e pe英语下册三年级
- 人教版三年级上英语25页
- 如何指导三年级学生英语写作
- 人三年级英语知识点
- 人教版三年级英语第45面
- 人教英语pep三年级起点
- 如何教孩子学好三年级英语
- 睿达杯英语三年级难吗
- 人教版英语三年级上18页
- 人教版英语三年级第五单元
- 少儿歌曲小手拍拍小白兔
- 树的儿歌谱子
- 受伤的小猪儿歌
- sss儿歌是什么
- 数字一到十的中文儿歌
- 刷牙儿歌钢琴自学顺序
- 森林生态科普教育儿歌
- 少儿歌曲美好的梦想原唱
- 首届儿歌盛典明星名单
- 竖立式叠衣服幼儿园儿歌
- 少儿歌海草
- 少年儿歌完整篇
- 生宝宝儿歌
- 圣诞老爷爷儿歌英语怎么说
- 三只小猫英语儿歌翻译
- 少儿歌唱大海啊故乡伴奏
- 三岁的宝宝会唱儿歌
- 少儿歌曲手牵手
- 适合散步念的儿歌
- 时代少年团男儿歌小提琴谱
- 逝去的恋歌儿歌大全
- 适合儿童听的小苹果儿歌
- 诗词儿歌mp3
- 少年梁祝儿歌伴奏高清版
- 数鸳鸯儿歌
- 睡前听儿歌多多的歌曲好吗
- 首弹的儿歌
- 史莱儿歌
- 数高楼简谱儿歌左右手
- 十个小指头儿歌叫什么名字
- 天津单弦相声
- 陶谦曹操评书
- 唐杰忠和周炜相声
- 唐之韵评书
- 土和水相声还是相克
- 脱口秀还不如二人转
- 天天免费有声评书
- 听天津相声有感
- 涂磊相声场景
- 天津快板语调
- 佟长江的二人转完整版
- 天津年轻相声演员玩笑
- 天津最美女交警相声
- 天猫精灵评书不全
- 天道武尊有声评书
- 他曾是南派相声一哥
- 田立禾刘学仁相声
- 通透人生相声
- 唐伯虎相声大全
- 吐槽国足快板
- 太原市租相声服
- 甜酸小说书模
- 秃子的相声演员叫啥
- 铁伞怪侠评书20
- 同仁堂快板词周九良
- 听完这段相声就明白了
- 听听二人转情人迷
- 天津辽宁中场群口快板
- 天津相声演员有谁办过专场
- 童林传评书35上
- 吴昕杨迪说相声
- 王小东兰晓燕二人转阴魂阵
- 温州鼓词温州鼓词莲花
- 五年级下册数学练
- 王桂云二人转
- 我在朝歌说书叶枫
- 王长林的相声
- 我和蔬菜交朋友的快板
- 王鑫宇搞笑相声
- 王艺涵的阅读习惯
- 温洲鼓词西汉18
- 温州鼓词李存孝1一9集7
- 舞狮队大鼓节奏
- 王谦祥李增瑞相声完整
- 王刚七几年评书
- 五位女生相声
- 王姐相声完整版
- 五琴大鼓
- 王声苗阜相声超长版
- 温州鼓词襄阳奇案第二集
- 外卖快板莲花落
- 吴昕谢娜相声大全
- 温州鼓词陈春兰观音
- 王玥坡大隋唐评书文本
- 我想得到你相声
- 文梗相声
- 我的一天相声主持串词
- 王玥波评书神女全部
- 王小虎东北搞笑二人转
- 我爱阅读从好习惯开始
- 乡村女教师种田忙 小说
- 星汉灿烂幸甚至哉未删减
- 西北大学经管学院
- 心理学与生活内容
- 悬梁刺股的人是谁?
- 相见欢(朱敦儒)
- 血红素胆红素偏高是什么原因
- 心脏再生或有望
- 小学生必背诗歌
- 小猫钓鱼故事读后感
- 夏邑县天气预报
- 小说嫡长女她又美又飒免费读
- 现代霸道总裁电视剧
- 香界寺
- 小说叶公子上门龙胥
- 逍遥小贵婿小说无弹窗
- 下载5sing音乐软件
- 写山水
- 想你原唱
- 荀子《劝学》原文及翻译
- 小果蔷薇的功效与作用
- 学霸养成小甜妻浮光锦
- 小暑古诗100首
- 小升初语文需要掌握的知识
- 小说天命神算全集
- 西游记86版40集
- 小英雄雨来优秀读后感600字
- 小学四年级语文上册课文
- 小学生的游戏
- 西江月配乐纯音乐