钟摆小问题

钟摆运动是属于部分圆周运动，这种运动是非匀速圆周运动，它是有周期的。可以当做单摆处理。



单摆的周期公式是 T=2π√(L/g) ,只与摆长和当地的重力加速度有关,与摆长的平方根成正比,与当地重力加速度的平方根成反比.

这个公式T=2π√(L/g)是根据弹簧振子的周期公式T=2π√(m/k)

推导出来的,因为单摆做简谐运动时的比例系数(F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2π√(m/k)即得T=2π√(L/g).

证明：

摆球的摆动轨迹是一个圆弧.设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ,则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ.设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l,则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l.所以,单摆的回复力为F=-mgx/l.

对于系统而言,m、g、l均为定值,故可认为k=mg/l,则F=-kx.

因此在单摆很小的情况下,单摆做简谐运动.

将k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l).由T=2π/ω可得单摆周期公式

T=2π√(l/g).



弹簧振子

F=-kx

a=d²x/dt²

=-(k/m)x=-ω²x ω=√(k/m)

d²x/dt²+ω²x=0

解微分方程

得：x=Acos(ωt+φ)

ω=2π/T

T=2π/ω=2π√(m/k)

单摆:

F切=ma=-mgsinθ a=ld²θ/dt²

ma=mld²θ/dt²=-mgsinθ

d²θ/dt²+(g/l)sinθ=0

θ<5° sinθ≈θ

d²θ/dt²+(g/l)θ=0 令ω²=g/l

d²θ/dt²+ω²θ=0

解微分方程：θ=θ0cos(wt+φ)

得：T=2π/ω=2π√(l/g)