三角形中位线的判定定理

在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

特点：若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。

扩展资料：

例：AD是△ABC的外接圆⊙o的直径(D点不与BC点重合)，过D作⊙o 的切线交BC于P，连线OP交AB、AC 于 M、N，求证OM=ON。

分析：从题目所给的条件与所要证明的结论来看，没有明显的联系，为此需要添加辅助线，勾通条件与结论的联系。

鉴于M、N分别在AB、AC边上的一般位置。若过B点作BE//MN分别交AC、AD于E、F， 则证明OM= ON就可 转化为证明BF=EF，也即是要证明F为BE的中点，这时B点在⊙o 上，和题设条件有了明显的联系。在△BCE中BC 是⊙o 的弦。取BC的中点G，如果能证明FG是△BCE的中位线，问题就解决了、因此只须要证明 FG//CE 就行了。而要证明这一 点是非常容易的事情。

证明 ： 因OD⊥PD、 OG⊥BC、

故O、P、D、G 四点共圆

从而∠FDG=∠OPG

又因BE//OP，故∠OPC=∠FBG

所以∠FDG =∠FBG

因此B、D、G、F四点共圆

所以∠FGB =∠FDB( 或∠FGB一兀一∠FDB )

又因为∠FDB =∠ACB( 或∠ACB 一∠兀一FDB )

所 以∠FGB =∠ACB， 从而FG//CE

而G为BC的中点， 由中位线定理， 可知

F是BE的中点， 即BF=EF

由于FB分之OM=AF分之AO=FE分之ON

所以OM=ON