我和公司签订的出租车转让合同丢了公司有责任吗

公司应承担一定责任。
出租车公司需要与驾驶员签订劳动合同《劳动合同法》第七条和第十条明确规定。相关的法律法规依据：
《劳动合同法》第七条用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。用人单位应当建立职工名册备查。
第十条建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。
第十六条劳动合同由用人单位与劳动者协商一致，并经用人单位与劳动者在劳动合同文本上签字或者盖章生效。