太阳系九大恒星是否都在一个平面上公转？是否都向一个方向转？为何不是向相反的方向转？

受太阳自转方向的影响。

首先说明,太阳系行星轨道并不是在一个平面上.
在宇宙中没有绝对静止的物体,受到各种外力的大质量的天体为了保持自身运动的平衡性必然依靠自转来维系平衡性.小质量的粒子由于运动的速度极快,也必须依靠自转来维系自身运动的平衡.这一点可以参考陀螺的运动原理,自转的物体在运动中对外力的耐受性较高.
公转与太阳系形成有关.首先数十亿公里的星云依靠引力逐渐收缩到一起,在形成恒星的过程中形成气体漩涡.形状有点类似经常在天气预报里看到的台风漩涡一样.这些星际气体最初肯定有不同的旋转方向,当相反方向的星云相互撞击时,动能较弱的一方会被另一方的强大动能带走.
就向当北风和南风接触时,如果北风的风力更强,南风肯定会被消耗殆尽最后融入北风之中,和北风保持一个方向运动.所以即便这些气体从四面八方聚集到一起,最后都只会留下一个动力最强的方向运动,与上述一个道理.
这些巨大的气体星云形成恒星（例如我们的太阳）之后,余下的气体被恒星发出的巨大能量向四周吹开.这些气体早已经保持沿一个方向绕恒星旋转.在数亿年间这些星际气体、岩石与冰封碎片逐渐依靠引力聚集在一起,形成行星.因此这些行星当然也会继续保持一个方向绕太阳旋转.
当然并非所有的太阳（恒星）系中的行星都是如此运行,如果一个恒星系中的某一颗或者几颗行星与其它多数行星沿着相反的方向旋转,那么这颗行星很可能之前不属于这个恒星系,而是在这个太阳系形成之后,这颗行星无意中沿着相反的方向（当然也有相同的方向就不太好确认了）闯入了恒星的引力范围,然后沿着反向或者很怪异的方向绕着这颗恒星旋转.
总之可以理解成,只要是在同一个太阳系（恒星系）内形成的恒星,都会绕着基本相同的方向绕太阳（恒星）旋转.你也可以参考太阳系中行星的卫星,卫星形成于行星形成时留下的参与碎片,所以这些卫星基本上也都是以一个方向绕行星旋转,就连行星的自转方向也与它们相同.如果某颗卫星转向不一样,那也是后天闯入引力范围后被俘获的,而非原本在行星周围形成.