证明：随机变量x,y不相关的充要条件是D(X+Y)=D(X)+D(Y)

1、证明充分：

由于D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov(x,y），根据D(X+Y)=D(X)+D(Y)，可推出Cov(x,y)=0 ，根据相关系数的定义，可以知道相关系数是0，所以x,y不相关。

2、证明必要：

反之如果XY不相关，则相关系数必然为0，而相关系数=Cov（x，y）/[D(X)D(Y)]^(-2),易知分母不能为0，所以Cov(x,y)=0，进而推出 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 。

扩展资料

方差的性质

1、设C是常数，则D（C）=0

2、设X是随机变量，C是常数，则有

3、设 X 与 Y 是两个随机变量，则

其中协方差

特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则

此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。

4、D（X）=0的充分必要条件是X以概率1取常数E（X），即

（当且仅当X取常数值E（X）时的概率为1时，D（X）=0。）

注：不能得出X恒等于常数，当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。

5、D（aX+bY）=a2DX+b2DY+2abCov（X，Y）。

证明充分：由于D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2Cov(x,y），根据D(X+Y)=D(X)+D(Y)

可推出Cov(x,y)=0 ，根据相关系数的定义，可以知道相关系数是0，所以x,y不相关。

2。证明必要： 反之如果XY不相关，则相关系数必然为0，                                                              而相关系数=Cov（x，y）/[D(X)D(Y)]^(-2),易知分母不能为0，所以Cov(x,y)=0，进而推出 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 

这是概率论的题吧，多看看书上的基本公式。