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如何证明两个不同的有理数之间有无限多个有理数和无限多个无理数?

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如何证明两个不同的有理数之间有无限多个有理数和无限多个无理数?

2023-08-14 09:50

2个回答
2023-08-14 11:01
这是举亏《数学分析教程-中国科学技术大学精品教材》练习题1.1的第2题，仿照楼上的解法，我也来写一个回答：
设这两个不同的有理数为p,q，且p(1)令Q = p + (q - p) / m (m∈N*且m≥2）
易知，Q为有理数，且p由于m∈N*，即m有无限郑颂多个，则Q有无限多个，
即p、q之间有无限多个有理数
(2)令Q = p + π(q-p)/n (n∈N*且n ≥ 4）
易知p由于n∈N*,即n有喊答郑无限多个，则Q有无限多个，
即p、q之间有无限多个无理数

(2)中用到了练习题1.1的第1题的结论，这里把第一题的题目贴出来：

设a为有理数，b为无理数，求证a+b与a-b都是无理数；当a≠0时，ab与b/a也是无理数
（用反证法即可证明）
2023-08-14 10:54

用构造法，直接构造出无限桐穗多个有理数或喊兆无理数

详细过程见下图：


先做假设——


开始构造——


补郑轮租充证明——

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