汤老师说的三角函数sinx和i之间的关系是怎么来的？

这是复数的三角形式。
在复变函数中，自变量可以写成三角形式，r是z的模，即r = |z|；θ是z的辐角，记作： Arg（z）。在-π到π间的辐角称为辐角主值，记作： arg（z）（小写的A）。
任意一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的倍数。把适合于-π≤θ<π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argz。辐角的主值是唯一的。
零在复数中，是唯一辐角没有定义的复数。
希望我能帮助你解疑释惑。