有限群的超可解群

2023-08-23 07:50

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2023-08-23 07:52

它是介乎幂零群与可解群之间的一类有限群。所谓超可解群，是指有限群G有一个有限多个正规子群的递降列使每个瞎拍野商群Gi-1/Gi为循环群。因此，超可解群是可解群的特例，又是幂零群的推广。判断有限群G 为超可解群有许多等价的充分必要条件，其中常见的有：①G的每个极大子群的指数为素数；②G的主群列的商因子皆为素数阶的循环群；③G的每一子群H（≤G）都有一切可能阶的子群。
可解群
如果有限群G公式
之合成群列的每个商群Gi-1/Gi（称为G的合成商因子）是交换群，那么有限群G称为可解群。易知，若G的合成商因子Gi-1/Gi是交换群，则必为素数阶的循环群。所谓G的合成群列，是指在G中由有限多个子群组成的降链如，使得Gi是Gi-1的极大正规子群，即，且凡满足GiG1>；…>Gr=1所成的每公式
个商群是单群。
在群G中由有限多个正规子群组成的降链使Gi为真包含于Gi-1内的G之极大正规子群（即Gi-1/Gi是G/Gi的极小正规子群），称为G的主群列。G的任意两磨喊个主群列是等价的。其等价定贺明义与合成群列的等价定义相同。
有限群有合成群列或主群列存在，且任意两个合成群列或主群列是等价的。这就是若尔当-赫尔德-施赖埃尔定理。凡是阶等于pαъ的群恒为可解群，其中p、是互异的素数，α、b是非负整数。这就是著名的伯恩赛德定理。而W.费特、J.汤普森在20世纪60年代初期又证明了有限