一元二次函数知识点
一次函数是函数中的一种,一般形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),其中x是自变量,y是因变量。特别地,当b=0时,y=kx(k为常数,k≠0),y叫做x的正比例函数(direct proportion function)。 一次函数及其图象是初中代数的重要内容,也是高中解析几何的基石,更是中考的重点考查内容。
至于更多维的函函数,暂时没有直观的图来表示,但可以理解.
比如天气预报,受太多因素影响,比如温度,湿度,气压,风速,阳光,地势,地型等等,这就是多维问题了.
二次函数贯穿中学数学,我们从初中与二次函数初次接触,它将几何和代数有机结合,是中考重点内容,也是高中代数的奠基石。
二次函数主要有哪些知识点?
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)^2;+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P[-b/2a,(4ac-b^2;)/4a]。
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax^2;+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点
如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k
定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的函数
二次函数的三种表达式
①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点P(h,k)]:y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化:
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
a>0开口向上
a<0开口向下
a,b同号,对称轴在y轴左侧,反之,再y轴右侧
|x1-x2|=根号下b^2-4ac除以|a|
与y轴交点为(0,c)
b^2-4ac>0,ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根
b^2-4ac<0,ax^2+bx+c=0无实根
b^2-4ac=0,ax^2+bx+c=0有两个相等的实根
对称轴x=-b/2a
顶点(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
顶点式y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
函数向左移动d(d>0)个单位,解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a,向右就是减
函数向上移动d(d>0)个单位,解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d,向下就是减
当a>0时,开口向上,抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上),并向上无限延伸;当a<0时,开口向下,抛物线在x轴下方(顶点在x轴上),并向下无限延伸。|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大.
4.画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时,即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和
x2存在时,根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2).
求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法:将解析式化为y=a(x-h)2+k的形式,顶点坐标(h,k),对称轴为直线x=h,若a>0,y有最小值,当x=h时,y最小值=k,若a<0,y有最大值,当x=h时,y最大值=k.
②公式法:直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点;对称轴是直线x=- ,若a>0,y有最小值,当x=- 时,y最小值= ,若a<0,y有最大值,当x=- 时,y最大值= .
6.二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时常用简化的描点法和五点法,其步骤是:
(1)先找出顶点坐标,画出对称轴;
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等);
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
pú yuán shí shuǐ
成语释义 蒲元:人名。指实践经验十分丰富
成语出处 《太平御览》:“君以淬刀,言杂涪水,不可用。取水者捍言不杂。君以刀画水,言杂八升。”
感情色彩 中性
成语结构 主谓式成语
成语用法 作宾语、定语;指经验丰富
产生年代 古代成语
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1,0)这点。
(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
在某变化过程中可以取不同数值的量,叫做变量.在某变化过程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数.
2.函数
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x在某一范围的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.
3.自变量的取值范围
(1)整式:自变量取一切实数.
(2)分式:分母不为零.
(3)偶次方根:被开方数为非负数.
(4)零指数与负整数指数幂:底数不为零.
4.函数值
对于自变量在取值范围内的一个确定的值,如当x=a时,函数有唯一确定的对应值,这个对应值,叫做x=a时的函数值.
5.函数的表示法
(1)解析法;(2)列表法;(3)图象法.
6.函数的图象
把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在平面直角坐标系内描出一个点,所有这些点的集合,叫做这个函数的图象.
由函数解析式画函数图象的步骤:
(1)写出函数解析式及自变量的取值范围;
(2)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值;
(3)描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点;
(4)连线:用平滑曲线,按照自变量由小到大的顺序,把所描各点连接起来.
7.一次函数
(1)一次函数
如果y=kx+b(k、b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.
特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b成为y=kx(k是常数,k≠0),这时,y叫做x的正比例函数.
(2)一次函数的图象
一次函数y=kx+b的图象是一条经过(0,b)点和 点的直线.
特别地,正比例函数图象是一条经过原点的直线.
需要说明的是,在平面直角坐标系中,“直线”并不等价于“一次函数y=kx+b(k≠0)的图象”,因为还有直线y=m(此时k=0)和直线x=n(此时k不存在),它们不是一次函数图象.
(3)一次函数的性质
当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
直线y=kx+b与y轴的交点坐标为(0,b),与x轴的交点坐标为 .
(4)用函数观点看方程(组)与不等式
①任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),当y=0时,求相应的自变量的值,从图象上看,相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴交点的横坐标.
②二元一次方程组 对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等,以及这两个函数值是何值;从“形”的角度看,解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标.
③任何一元一次不等式都可以转化ax+b>0或ax+b<0(a、b为常数,a≠0)的形式,解一元一次不等式可以看做:当一次函数值大于0或小于0时,求自变量相应的取值范围.
8.反比例函数
(1)反比例函数
如果 (k是常数,k≠0),那么y叫做x的反比例函数.
(2)反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线.
(3)反比例函数的性质
①当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而减小.
②当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大.
③反比例函数图象关于直线y=±x对称,关于原点对称.
(4)k的两种求法
①若点(x0,y0)在双曲线 上,则k=x0y0.
②k的几何意义:
若双曲线 上任一点A(x,y),AB⊥x轴于B,则S△AOB
(5)正比例函数和反比例函数的交点问题
若正比例函数y=k1x(k1≠0),反比例函数 ,则
当k1k2<0时,两函数图象无交点;
当k1k2>0时,两函数图象有两个交点,坐标分别为 由此可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称.
1.二次函数
如果y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.
几种特殊的二次函数:y=ax2(a≠0);y=ax2+c(ac≠0);y=ax2+bx(ab≠0);y=a(x-h)2(a≠0).
2.二次函数的图象
二次函数y=ax2+bx+c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线.
由y=ax2(a≠0)的图象,通过平移可得到y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.
3.二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c的性质对应在它的图象上,有如下性质:
(1)抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 ,对称轴是直线 ,顶点必在对称轴上;
(2)若a>0,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x< 时,y随x的增大而减小;当x> 时,y随x的增大而增大;当x= ,y有最小值 ;
若a<0,抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,因此,对于抛物线上的任意一点(x,y),当x< ,y随x的增大而增大;当 时,y随x的增大而减小;当x= 时,y有最大值 ;
(3)抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点为(0,c);
(4)在二次函数y=ax2+bx+c中,令y=0可得到抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的情况:
当=b2-4ac>0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的公共点,它们的坐标分别是 和 ,这两点的距离为 ;当=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点,即为此抛物线的顶点 ;当<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点.
4.抛物线的平移
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。
当a>0时,二次函数图像向上开口;
当a时,抛物线向下开口。
|a|越大,则二次函数图像的开口越小。
决定位置因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a>0,与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a
当a>0,与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当对称轴在y轴左时,a与b同号(即a>0,b>0或a
事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
扩展资料
二次函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的图像形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
y=ax² (0,0) x=0
y=ax²+K (0,K) x=0
y=a(x-h)² (h,0) x=h
y=a(x-h)²+k (h,k) x=h
y=ax²+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
- 1有没有主角身份是龙族的小说越厉害越好!都市,异世都可以。
- 2女人的世界,偶不懂
- 3集美大学有没有设计专业?
- 4潇湘书院金牌小说
- 5主角带着系统可以穿越各个世界的小说
- 6别人给最后一支烟给你是什么意思
- 7冷战是什么?(不是那个战争)
- 8求类似半城风月的小说。男女主角都是身份比较高贵的神仙。最好是欢喜冤家那种,可以是有下凡历劫。
- 9生死较量是不是成语
- 10穿越时空的爱恋第二部
- 11一个人反反复复想去沉淀是什么意思
- 12起点十二白金大神都有谁
- 13推荐个战斗热血动漫
- 14求一些校园复仇小说,只要是这种类型的都行,比如:复仇天使恋上你
- 15明星怎么挣我们流量的钱?
- 16女生做调酒师合适吗?
- 17上昭先祖之训,下锦子孙之诸是什么意思?
- 18有什么搞笑的电影 推荐一下!
- 19征集英文歌曲,要那种悠缓的,给人一种舒服感觉的歌曲~有劳各位友友了~~
- 20枯字组词
- 21张紫瑶身高多少?是张紫瑶噢!不是邓紫棋,不要看错了,90后华语乐坛金曲女神。
- 22有没有一种东西可以记录人的梦境?
- 23为什么《红楼梦》里的金钗是十二个?
- 24天天很想看电影就是不知道看什么,给推荐几部值得一看的电影吧,最好是中文版的,帅哥多的。
- 25十二生肖分界线是什么时候
- 26有没有那种好看到想让人通宵看的小说,800k以上的
- 27还有一个 用英语怎么说
- 28在沉浮的娱乐圈当中女明星都应该如何自处啊?
- 29(花样少男少女)到底是多少集啊?
- 30上层社会或者上流社会就是哪些人啊?
- 初中一次函数知识点
- 一次函数知识点总结
- 初中二次函数知识点
- 高中数学一次函数知识点
- 初中数学一次函数知识点
- 高考数学二次函数知识点
- 初中数学二次函数知识点
- 一次函数的应用知识点
- 九年级二次函数知识点
- 八年级数学一次函数知识点
- 初三数学二次函数的知识点
- 初中数学一次函数知识点总结
- 初三数学二次函数知识点总结
- 一次函数和二次函数
- 一次函数与二次函数
- 数学函数初二知识点
- 一元一次函数
- 一元二次方程知识点
- 已知二次函数
- 九年级上册数学二次函数知识点
- 一元二次方程函数
- 一元三次函数
- 一次函数与二元一次方程
- 初中数学一元二次方程知识点
- 初二数学函数知识点汇总
- 初二数学函数知识点总结
- 九年级数学一元二次方程知识点
- 高考数学函数知识点
- 初中数学知识点函数
- 初二一次函数
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- abc谋杀案英文有声书
- 埃隆马斯克传有声小说英文
- 爱奇艺有声小说洪武大帝
- 艾宝良鬼吹灯有声小说昆仑
- 凹凸世界嘉德罗斯的姐姐
- 奥特曼塞罗故事
- 艾青有声读物
- 傲视丹神有声小说
- 傲风有声书
- 爱神听我说有声小说李荷西
- 爱迪奥特曼
- 傲慢与偏见英文有声读物
- au怎么录制和剪辑有声书
- 安卓斗罗大陆有声小说免费
- Al有声书源添加
- 暧昧强少有声小说
- 奥特曼小淘气
- 傲慢与偏见有声小说0
- au录制有声书音教程
- 螯婿当道有声小说
- 安利有声小说app
- 奥术神座有声小说北冥月声
- 澳洲阿凡姐
- 傲世王妃重生有声小说
- 安眠到天亮
- 阿陈有声小说免费收听
- 爱有声小说网叶凡龙飞燕
- 安娜卡列尼娜有声书
- 暗河有声城市之光小说
- 爱在泉城有声书网易云音乐
- 陛下请自重小说有声
- 摆脱焦虑症方法有声读物
- 被诅咒的宝石
- 搏击俱乐部
- 宝贝逆天魅医娘亲有声书
- 霸道女总裁的贴身保镖有声小说
- 北齐有声小说
- 北京小旋风有声小说
- 不正经的艺术
- 冰糖书香有声小说
- 帮我搜一下有声小说鬼故事的这些
- 毕业生有声书sp
- 不错的有声读物免费
- 巴啦啦小魔仙飞越彩灵堡
- 八零后少年方丈有声读物
- 比较好的悬疑有声小说
- 北京的历史
- 表妹有声小说
- 百炼成仙有声书胡三
- 不可不知的
- 把心安顿好
- 彼得潘英文版有声书
- 不朽凡仙有声书
- 变身之后我和她的狂想曲小说有声
- 不败武帝有声小说
- 不用网的有声小说
- 边城有声小说播音
- 卑鄙的圣人文涛有声书
- 白玉老虎有声小说全集
- 百炼成仙有声小说秦
- 传世清音名家音乐会
- 陈寒柏李云天相声
- 词汇测评书
- 初二下册总复习
- 曾国藩单田芳评书151
- 车北二人转刘晓燕
- 超长一小时相声
- 初中年级化学辅导
- 初中英语作文100字
- 楚留香装备清音入梦衫
- 初二数学因式分解
- 成都方言快板
- 沧县贾村大鼓交流会
- 超长2版相声
- 差错说书人三
- 初中英语大纲
- 初一数学知识点数轴
- 超级宝贝JOJO适龄启蒙
- 初中英语时态
- 称赞德云社相声演员
- 诚信校园相声大全
- 曹云金相声13集
- 陈坤岳云鹏相声
- 赤峰二人转剧场演员
- 苍南渔鼓十月怀胎
- 初二地理上册复习
- 唱快板要饭的顺口溜
- 仇云剑相声社
- 穿汉服的相声
- 从观众到相声大师
- 电视剧林海雪原全集免费观看
- 大爱仙尊全文免费阅读
- 电影我的1919观后感
- 到色达旅游
- 堕落天使之天使与恶魔
- 电视剧逆行者
- 得墨忒耳号的最后航程
- 大拇指切断了
- 斗罗玉转不乐的奇遇
- 带有言情的小说
- 电影荒原
- 的歌词
- 电动汽车奇瑞小蚂蚁
- 敌营十八年第3部全集
- 戴羽彤歌曲大全
- 地藏经全文及仪轨
- 打电话网络用语
- 邓丽君经典日语歌曲
- 大追捕
- 东林书院注目
- 笛卡尔我思故我在
- 电影《这个杀手不太冷》免费
- 电影制作
- 大宅门第二部全集免费
- 弹琴的歌曲
- 都市之最强狂兵最新
- 等腰三角形的两个锐角都是多少度
- 大耳朵图图免费
- 哆来咪发唆拉西哆儿歌
- 电影飓风营救2
- 二人转入门学唱
- 二人转正戏寒江
- 二人转演员苗林林
- 二人转魏三何晓影转集
- 二人转大实话直播间
- 二人转孙立荣丈夫是谁
- 二人转属于哪个地区
- 二人转演员回虹
- 二人转苟梅架下
- 二人转杜十娘何晓影魏三
- 儿童相声手势
- 二人转五更月儿
- 二人转不成文规定搭挡
- 二水说书
- 二人转是莲花
- 二人转李小花个人简历
- 儿童集体多人快板
- 二胡大鼓教程
- 二人转两兄弟
- 二人转专用电子琴
- 二人转组合重出江湖
- 二人转演员黄五是谁
- 二人转大咖集合
- 二人转了解
- 二人转器材
- 二人转猪八戒背媳妇二大妈
- 二萌娃表演另类相声
- 二人转珍藏版
- 二人转老戏大全
- 二人转阿文
- 封神演义180评书单田芳
- 阜康有说相声的地方么
- 服装的相声
- 凤舞九天相声
- 腹式呼吸
- 放松的音乐
- 抚顺演员二人转电话号
- 甫君说书全集
- 反映纟村生活的快板
- 辅导二年级
- 福建南音的主奏乐器
- 封神榜评书116
- 放风筝的儿童故事
- 范县快板
- 放放说英语
- 返乡相声冯巩
- 分饺子相声
- 防不胜防评书
- 风水效应
- 福建南音主奏乐器二弦
- 分析相声与脱口秀的区别
- 疯语音
- 范伟相声打当
- 佛山租大鼓
- 放弃相声20年后
- 付苗相声
- 废除相声
- 凤凰琴书阁
- 范芝云琴书鱼水情
- 非诚勿扰苏州评弹
- 高中英语句子成分分析
- 高一英语学习指导
- 高二英语语法知识点汇总
- 郭德纲相声就是我的命下
- 郭德纲于谦的这个相声
- 歌颂祖国山水的快板词
- 郭德纲给父亲拜寿相声
- 广泛清音常见于
- 顾青山评书
- 关于古诗词的相声对话
- 关于岳云鹏的相声
- 感受英语
- 高中英语小作文
- 购买严选易网年卡会员
- 搞笑故事大全笑死人 经典免费
- 郭德纲相声表白
- 关于相声的现代诗
- 高中英语倍数表达法
- 公司行政部门快板
- 购买KFC季卡
- 高三励志演讲稿3分钟
- 高中化学难
- 高中英语必修四课本答案
- 硅谷堂APP
- 郭冬临周涛相声完整版
- 高三地理知识点
- 郭德纲相声梨片
- 郭德纲相声邀请函
- 郭德纲幸福三重奏相声
- 郭德纲早年相声梦中婚
- 黄雅静最新相声
- 黄莺展翅快板
- 红布大鼓棒
- 侯耀文相声小眼看世界评论
- 沪江法语A2课文
- 何老师要转战相声界
- 画风突变跳二人转
- 哈尔滨二人转演出地
- 韩子平新编二人转神调
- 湖广会馆相声专场
- 喝醉酒相声
- 红色大鼓谱子
- 和pierre老师学习法语A1听说
- 回忆青少年时代相声
- 侯耀文相声经典语录
- 和法语有关的一切
- 胡雪岩传评书
- 欢乐喜剧人清华大学说相声
- 何云伟李菁相声竹声雅韵
- 韩信评书全集大全最新
- 胡适自传评书
- 婚变相声
- 黄夫英相声
- 婚姻评书
- 侯耀文不认相声大师
- 贺新年众口相声
- 湖南相声大会
- 胡玉连琴书
- 韩佳相声
- 很悲伤的相声
- 建造房屋的禁忌
- 饥饿线
- 进入狩猎队
- 君臣赋
- 极品慢嗨
- 健康使者
- 绝对在乎你
- 絶対カラフル宣言
- 金钟罩
- 金盏花
- 九轮纪元
- 建立正确的饮食习惯
- 劲炫迈
- 金刚火花
- 假期妈妈
- 酒醉当歌
- 戒情人
- 今晚八点出来饮啤酒
- 结伴而行
- 今天你嗨皮了么
- 酒吧精挑细选
- 即兴小调
- 金刚萨垛心咒
- 记得今年出门
- 绝不认输
- 今天也自言自语
- 金像奖
- 绝对不会放过上
- 精灵在注视
- 嫁祸
- 快板杨晓琼找媳妇
- 快板佩谢蒂
- 快板乐谱大全
- 苦肉计评书是
- 开场舞蹈快板
- 快板宣传海报
- 快板小小艺术家串联词
- 康康二爷相声全集
- 快板新年好串词报幕
- 跨界喜剧王周杰说相声
- 考福清讲评书
- 快板绳总是打结
- 快板夸夸美丽的家乡
- 考骨绝境寻踪评书
- 狂神听书评书
- 科技主题相声剧本
- 快板赞房山
- 快板班招生
- 空管相声节目
- 快板大神王玥完整版
- 夸美女老板娘快板
- 快板任素汐
- 快板文明礼貌歌
- 快板我爱读书六1班
- 康云飞相声黄鹤楼
- 快板张九南
- 快板工作家庭两手抓
- 快板双转板
- 空谷清音个人空间
- 快板教学玲珑塔慢动作
- 卢鑫玉浩和德云社合演相声
- 刘老根大舞台第三部二人转
- 老腔二人转密建游宫
- 礼县大鼓借米
- 李鹤东刘筱亭相声
- 连丽如评书红楼梦037
- 庐剧快板腔调
- 乱世枭雄评书32音频
- 卢鑫玉浩相声搞笑版大全
- 李文华拜师相声完整版
- 李雷王艳春的二人转
- 李菁何云伟相声吹牛
- 刘老根唱二人转骂药匣子
- 历下相声
- 临沂河东朝阳大鼓
- 李伯清评书李逵打虎
- 李金斗师胜杰的相声
- 刘兰芳相声
- 李菁何云伟相声春晚快板
- 刘金定下南唐全集评书
- 乐亭大鼓全集回杯记
- 了解大鼓
- 刘老根大鼓
- 刘兰芳红楼梦评书全集
- 乐亭大鼓来历
- 龄龙相声全集完整版
- 卢鑫玉浩相声名称大全
- 刘梅相声
- 李文华姜昆经典相声
- 刘仪伟岳云鹏相声完整版
- 暮光之城的
- 明朝存在几年
- 穆婷婷主演的电视剧
- 民调局异闻录全册免费全集
- 穆桂英河北梆子
- 孟狐狸
- 麦穗石豆兰
- 木偶奇遇记音乐
- 名著阅读:红岩
- 么么哒么么哒
- 美妙英文纯音乐
- 摩羯座的英语
- 冒险小狗帮可以听的
- mp3怎样下载英语听力
- 每日一篇深度好文
- 莫言《晚熟的人》经典语录
- 面部很平怎么改善
- 免费阅读执掌风云笔趣阁
- 梦华录张好好
- 名侦探柯南全集在线看免费
- 妈妈是你坚强的后盾
- 名家朗诵《诗意中国》
- 莫扎特单簧管
- 魔法石英语
- 民间中医网 徐文兵
- 猫吵架叫声
- 孟子浩然之气原文朗读
- 孟根花
- 莫言散文集
- 谋权天下相女毒妃
- 牛皮菜儿歌
- 农门长姐有空间在线听书
- 鸟的篆书
- 那些地方适合自驾游
- 女人的超级赘婿
- 女生宿舍英语
- 女生喜爱的礼物
- 你好麋鹿你好雪人英文儿歌
- 女总裁的超级护卫
- 黏怎么读
- 鸟叫声铃声mp3免费下载
- 宁波诺丁汉大学电话
- 难忘的一天作文结尾精彩
- 挪威的森林来电铃声
- 挪威的森林下载伍佰mp3
- 难忘的一件事和父母
- 农村养老和职工养老都交了怎么办
- 南江旅游景点
- 男耕女织的唯美句子
- 男女谈恋爱聊天技巧
- 农家仙田全文阅读免费阅读
- 脑电波图
- 女孩子生气如何哄她开心
- 女生谈恋爱聊天技巧
- 哪些儿歌是小班的舞蹈类型
- 虐文言情
- 男人生气了怎么哄
- 年轻的国王
- 你最喜欢听什么音乐
- 男主有读心术的小说
- 欧亨利短篇小说有声读物
- 欧洲故事英文有声读物
- 欧亨利短篇小说
- 欧亨利英语有声小说
- 欧洲最危险的男人有声小说
- 蕅益大师弥陀要解有声书
- oppo书城小说有声极速版
- 欧洲民间故事五年级
- 欧美图片在线有声小说
- 欧美日韩有声小说
- 欧神有声小说
- 欧神有声书免费
- 欧洲印象有声读物
- 欧美图片亚洲图片有声小说经典有声
- 欧神在线免费有声书
- 欧林有声书
- 欧阳雪有声小说免费听
- 欧子的有声书资源
- 欧亨利有声小说全集
- 欧美侦探有声小说持续
- 偶遇抢银行见义勇为的有声小说
- 欧洲中世纪三部曲
- 欧享利短篇小说有声读物
- 欧美有声读物
- 欧美涩图有声小说
- 欧美爱情的小说有声小说
- 欧亨利短篇小说选
- 欧美日本有声小说新闻
- 欧美日本图片有声小说
- 欧洲艺术史
- 拼音城堡
- 攀登英语一级-晓曼
- 拼音v的笔顺
- 帕丁顿小熊
- 陪伴孩子成长的绘本阅读
- Python实战
- 辟谷日志
- 拼音报
- 脾胃虚弱该怎么揉肚子
- 泡泡音乐情感频道
- 陪妈妈睡觉
- 裴宝阅读
- 瓶邪猎奇 麒麟蛋蛋 碎碎九十三
- 棚阅读
- 拼音口语练习小故事
- 陪伴亲子阅读
- 培训技能
- 品牌微课
- 脾胃虚弱的表现与调养
- 拼音歌
- 浦歌专栏
- 评测评测测
- 平安之声6
- 跑步用什么听音乐
- 平院频道文海拾贝
- Python脱白志
- 普通话音频
- 排列与组合的应用
- 拼音三
- 萍聚lr的个人专辑
- 倩女幽魂歌词
- 秦皇陵位置
- 情人节聊天幽默句子
- 七年级语文笔记整理
- 汽车电瓶安装
- 全职法师无弹窗免费阅读全文
- 趣作文
- 奇门遁甲 起卦
- 全国市县天气预报查询
- 七年级数学免费教学视频
- 奇门81格局
- 奇女子逆袭人生
- 汽车遥控器失灵怎么办
- 请回答1988韩寒
- 企业培训学校
- 企业退休养老金如何计算
- 棋魂免费
- 倾听者的英语
- 青云游戏
- 清澄的意思
- 汽车轮胎材质
- 七个月宝宝食谱表
- 秋天桂花飘香的句子
- 汽车缺机油指示灯
- 汽车大灯怎么关
- 前赤壁赋朗诵视频
- 千秋我为凰完整版
- 青莲空间
- 秋季古诗词
- 全球高武无删减txt下载
- 让很多相声同行无话可说
- 任庄小学快板
- 人称相声皇后
- 融洽有爱的相声
- 如何评价同济大学相声社
- 瑞安鼓词黄三袅与林定郎
- 锐雯相声
- 人间大鼓
- 如何评价李文华的相声
- 日语发音清音浊化规则
- 如此学生相声剧本短篇
- 绕口令快板串词
- 让松散的相声界空前团结
- 让南方明星抓狂的儿化音
- 日语清音和浊辅音
- 融创壹品南湖听心音乐会
- 热议相声
- 如何带徒弟唱快板
- 绕口令幼儿园简单快板
- 任然相声
- 如何传承和保护湖南评书
- 人家说相声要钱
- 日语里清音
- r1se蔡徐坤相声
- 热情的快板钢琴几级
- 日不落二人转版
- 如果我是爸爸相声
- 任国辉二人转
- 热情的快板电子琴演奏
- 入门相声于谦
- 说书郭德纲于谦相声全集
- 上海交大相声夫妇
- 实用儿童康复医学
- study
- 数学6年级下册
- 四人相声直播
- 山东铁片大鼓吕布戏貂蝉
- 蜀山剑侠传三英二云评书
- 三国演义评书连丽如徒弟
- 说书人小回忆
- 山东快书武松传第九回
- 苏州茶馆最好听的相声
- 师胜杰石富宽相声卖布头
- 师胜杰李立山相声讨价还价
- 四个姐妹说快板
- 山东枣庄大鼓全部演员
- 声临其境郭德纲单口评书
- 苏州最好的评弹学校
- 四年级古诗快板朗诵
- 陕北张俊功说书善寺亭
- 司马懿评书片段合集
- 说书人小班舞蹈
- 说唱快板词说说江西
- 少年童话故事
- 陕西少儿快板培训
- 数学初一下册课程
- 少儿相声关于吃蔬菜水果的
- 书剑情仇评书
- 四年级上册英语第四单元
- 说书庆馀年
- 太阳光火辣辣是什么儿歌
- 托班儿歌吹泡泡ppt
- 提建议句型的儿歌
- 童心向党豆e乐儿歌
- 听到儿歌就想哭
- 通过儿歌摇摇船让宝宝知道
- 童心向党儿歌歌曲纯音乐
- 童谣儿歌亲子阅读评语
- 天籁之音倩儿歌手直播
- 唐僧八戒真糊涂儿歌
- 土拨鼠钢琴教学儿歌
- 天门山古诗儿歌
- 桃子儿歌简谱
- 托班表演儿歌点评
- 驼驼儿歌
- 泰国水滴石穿儿歌
- 唐僧骑马咚了咚的儿歌
- 兔子的牙怎么这么长儿歌
- 兔小贝儿歌第129集播放
- 天气儿歌英文歌词大全
- 同步精讲精练初三英语
- 天山雪莲儿歌纯音乐
- 拖班常规培养儿歌
- 太阳系第八行星儿歌
- 兔子说了一句话儿歌
- 太阳圆太阳晒儿歌
- 童谣儿歌创作红苹果
- 托马斯小火车儿歌全部
- 太阳升起辨别方向的儿歌
- 兔子舞健身操儿歌大全
- 我抓老千的那些年免费有声小说
- 我的鬼君老公有声小说在哪可以听
- 武汉声音图书馆有声书
- 围城有声书300
- 网有声小说都有味
- 午夜的士有声小说
- 万古武神有声小说
- 武神多人有声小说
- 我在大明当暴君
- 万方幸福派有声小说
- 我在微博当锦鲤
- 我是个算命先生有声书
- 万古神帝听书宝有声小说
- 我的绝色老板娘有声小说全集
- 我看书的那些年有声小说免费听
- 我在原始时代当霸主有声小说
- 我的世界之第七梦境
- 我在都市修个仙有声小说方回
- 武则天无字碑
- 我的老千生涯2
- 五代河山风月
- 网络游戏有声小说排名
- 完整重生有声小说
- 我给地府赚冥币有声小说
- 无赖圣尊小说有声连播
- 问鼎官神有声小说全集
- 未来天王有声小说
- 我的神秘太子爷
- 王牌特工有声小说在线收听
- 为人识人用人
- 心里装着谁
- 悬疑危机
- 笑裏轻轻语
- 心微痛
- 相思难防
- 小提琴的旋律
- 小木屋
- 小区的清早
- 乡情乡韵
- 细说广州红
- 雪一样晶莹的初恋
- 夏日清爽旋律
- 小燕子吉吉
- 血腥杀伐六征西夏
- 相思泪水飞滿天
- 刑事
- 乡下早晨鸡叫人
- 星河滚烫人间理想
- 西行客
- 心尘
- 嘻兮
- 谢谢最亲爱的你
- 香港地
- 西北姑娘
- 夏风多暖暖
- 想你就是我的幸福
- 心痛的滋味谁能体会
- 徐承志洞中点评
- 幸福新生活
- 小八股
- 酉阳四年级下册英语
- 元气少女儿歌组合叫什么
- 英语阅读画册五年级上册内容
- 优优五年级英语
- 英语五年级上册课文青岛版
- 英语第四单元五年级中文
- 英语学习五年级语法
- 英语下册第41页五年级
- 语文英语五年级全集
- 英语五年级下册软件
- 英语五年级8单元人教版
- 英语解析五年级下册
- 有一群小宝贝儿歌
- 英语八年级上m2u2课文翻译
- 英语3年级下册第9课翻译
- 幼儿歌曲茉莉花教学
- 英语八年级下第七单元2a2d翻译
- 英语练习句子四年级
- 幼儿园柜子安全儿歌顺口溜
- 英语语法专项练习五年级
- 英语知识儿歌四年级
- 英语五年级上 favorate
- 英语作文五年级myhousework
- 英语八年级下册人教版第七单元2a2b
- 优美词汇四年级上册英语
- 英语3年级单词听写怎么做
- 英语五年级下册p65
- 英语3年级上册P24页
- 用英语介绍国庆节3年级
- 英语五年级unit three