煎蛋科学第28期：纳维斯托克斯方程和流体力学

第28期，2019年3月17日，纳维斯托克斯方程和流体力学

最近有一些听友向蛋博士提出问题或者建议。比如在上一期节目当中，我们说到了WIFI对人体的影响，是跟功率有关的。有听友提出，WIFI的频率只有2.4GHz达不到电离辐射，所以对人体不会造成影响，跟功率无关。首先说说什么是电离辐射。电离辐射简单理解就是能把介质里面的电子剥离出来的辐射，这种辐射频率通常很高，能够在DNA层面对组织细胞造成伤害。我们可能会用到医学成像仪器比如X光，CT都属于这类电磁波。根据美国国家癌症研究所的研究，电离辐射是很容易引起癌症的。WIFI的频率是2.4GHz，确实达不到电离辐射，但是我们在上一期里讲的对人体的影响，主要是指这个频段的热效应，这也的确是和功率或者说能量密度有关的。2.4GHz这个频段属于微波频段，没错，微波炉也就是使用的2.4GHz，微波炉功率更高，于是就可以用来加热了。还有另外一位听友建议我们讲讲统计概率和千禧年七大数学问题。千禧年七大数学问题，是2000年由美国的克雷数学研究所公布的七大数学难题，解决一个能得到100万美元。这七大数学问题里面，黎曼猜想是数论的经典猜想，对现代的密码学有重要价值。但是因为涉及解析延拓，不是我们在一个音频节目里面能够讲明白的。杨米尔斯存在性需要杨米尔斯规范场和量子电动力学的知识，庞加莱猜想需要拓扑学的知识，这两个也没办法在音频节目里讲清楚。BSD猜想和霍奇猜想，术业有专攻，虽然蛋博士是数学竞赛出身的，但也看不懂近期的文献，所以也没法讲。所以今天就来讲讲纳维斯托克斯方程以及流体力学。

纳维斯托克斯方程，简称NS方程，基本上可以算是整个流体力学。一般来说我们节目的定位还是从一个问题出发去查文献，因为十分钟很难把一个学科哪怕是二三级学科讲明白。而且讲课，还有李永乐老师呢，人家是专业的肯定比我能抓住知识点和考点，我们这也推荐一下李永乐老师的视频。我们就来讲讲NS方程的几个简化，以及蛋博士对于解NS方程的一些感想，蛋博士读书的时候没少解这方程。讲NS方程之前首先需要理解一个概念，就是我们平时使用的经典牛顿力学，都是使用的拉格朗日描述（Lagrangian description），就是跟着研究物体走，比如你研究一个木块在斜板上滑动，就跟着木块走，对木块进行受力分析，这些我们高中物理没少学。在流体力学里，更常用的一种描述是欧拉描述(Euler description），看这些数学大神，物理也没少研究。流体不同于固体，随时都在流动和形变，一块流体，下一个时刻在哪儿，还是不是那块流体都不知道。所以欧拉描述关注不是物体本身，而是空间。我们就关注一块小空间中流体的情况，流体可以流走，但是下一波流体又会再流进来，我们并不在乎现在在这小块空间的是哪一块流体，我们只在乎当前在这块空间内流体的物理性质，包括流速，密度，压力，剪切力等等各种物理性质。而NS方程，就是描述这么一小块空间内流体的这些物理性质的方程。

NS方程是基于空间的，所以这些物理性质就都是空间的函数，三维空间下也就是x,y,z三个方向的函数，如果不是稳态流体，比如突然开闭阀门，流体流速就会变化，这时候的流体还是时间t的函数。我们只考虑NS方程动量守恒和质量守恒的部分，热量守恒部分我们就暂时不考虑了。动量守恒的NS方程，念是没法念出来的，这里面有太多的梯度和散度，估计大家也不爱听。但是这个方程大概是这样的，方程左边，密度乘以加速度与速度和速度梯度的点积，跟牛顿第二定律的质量乘以加速度很像，这一项也就是惯性力。方程右边，第一项，负压力梯度，第二项，特别长，总之就是粘性力，第三项，就是外力项比如重力。所以NS方程说的就是，惯性力，应该等于负压力梯度，粘性力，和外力的和，这就是动量守恒。这写起来很麻烦，但是简化一下，如果没有压力梯度的，流体也没有粘度的话，左边就是惯性力，右边就是外力，这就是牛顿第二定律。质量守恒就很简单了，密度对时间的导数，加上密度和速度乘积的散度等于零。这也很好理解，如果把我们关注的小块的体积考虑进去，密度乘以体积就是质量，速度乘以面积就是流速，再乘以密度，就是单位时间内进出的流体的质量，这就是说，小块里质量的变化，要和单位时间内进出流体的质量相同，这不跟没说一样。所以很多公式看起来很吓人，其实实际计算中还是很有用的。

NS的方程的简化，主要是针对动量守恒的简化，质量守恒已经很简单了。刚才我们说了一个NS方程的简化，NS方程简化成牛顿第二定律，那就没流体了，我们生活中的流体，除了我们在低温探索里讲的超流体，都是有粘度的。我们来说说最简单的例子，两块无限大的水平平板之间的层流流体，流体水平流动，流动方向并不受重力影响，NS方程可以简化成，流速对垂直方向的二阶导数等于一个常数。什么函数二阶导数是常数？二阶多项式，如果我们把边界条件带进去，就可以确定积分常数，得出的结论就是速度分布是抛物线，中间最快，两边靠近平板的地方，速度是0，因为摩擦力。这里我们又说到了层流，就是我们之前在混沌理论里讲到的，速度较低的情况，或者雷诺数低于2000的情况。同样的简化可以运用到自来水管中的层流，也是抛物线形的，中间最快。还可以运用到一个无限大平板上的自由流体，如果平板有倾斜，那流体就会留下来，同样流体速度是半个抛物线，接触平板的地方最慢，接触空气的地方最快。这是不是很难想象，放个滑块在平板上滑下来，整个滑块都是一个速度，流体就是上面快下面慢。

NS方程的第二个简化，就是著名的伯努利原理，简化后的NS方程还是很好看的是不是。伯努利原理是瑞士伯努利家族中的丹尼尔伯努利发现的。我们所知道的好多伯努利命名的定律，其实都是这家人发现的，不过是不同的人，这基因也是不要太好。伯努利原理说的是，对于同一种流体，½ rho v^2 + p + rho g h  是个常数。我相信大家对这里面的英文字母都不陌生，p叫做静压力，½ rho v^2，是不是很像动量，½ m v^2，这一项叫做动压力。如果液体不动，动压力就没了，p + rho g h = 常数。这不就是我们高中学的液压公式么，这里面的h是液体的距离地面的高度，不是深度，所以差个负号。所以伯努利原理，就是个液压公式，不过液体可以流动了，所以多了一项速度项。伯努利原理在实际生活中用处还是很广的，比如为什么等火车的时候一定要站在黄线外？因为动静压力和是个常数，火车附近的空气速度很快，速度快压力小，而等车的人附近空气速度为0，速度慢压力大。站的太近的话，人是会被这个压力差吸向火车。

NS方程的第三个简化，就是斯托克斯阻力公式，就是NS方程里面的斯托克斯发现的。在雷诺数特别小的时候，我们通常称液体为爬流，叫做creeping flow。我们在布朗运动那一期中讲过，低雷诺数，就意味着粘滞力远大于惯性力，NS方程里面的非线性项就都没了，方程就容易解。通过解一个小球周围流体的NS方程，就可以得到斯托克斯阻力公式，这个公式说，小球受到的阻力，正比于液体粘度，液体速度，和小球的半径。这个公式可以用来解释一个现象，就是把一个比水稍微重一些的小球仍水里，因为重力大于浮力，小球会慢慢加速下落，这个过程中，阻力是随着速度线性上升的，所以只要水足够深，总有一个时间，阻力等于重力减去浮力，小球就开始匀速运动了。这个过程跟跳伞很像，跳伞降落也是匀速的，不过跳伞的阻力比较难算。。。

说了这么多，我们的课就讲完了，其实就是简单说几个例子，说明NS方程是很重要的。当然我并不是说这些简化的例子都是从NS方程推导出来的，实际上流体力学中很多公式都是先于NS方程，或者说NS方程是一个更通用的形式。关于NS方程的这个大奖难题，是证明NS方程的解的存在性和光滑性。这个到现在都没能被证明。很多时候科学家为了证明一个难证明的定理，都会先证明一些简单的弱定理，找找手感和方向。比如孪生质数猜想的证明中，本来是要证明相差为2的孪生质数，比如3和5，11和13这样的，有无穷对。华裔数学家张益唐，证明了个弱定理，相差不超过7000万的孪生质数对，有无穷多个。你可能觉得，这也太弱了，其实并不然，因为张益唐研究的这个方法非常好用，而且给其他人指明了一个方向，顺着这个方向，现在这个7000万已经被缩小到了246。NS方程存在性和光滑性也一样，目前科学家已经证明了二维方程的存在性和光滑性，以及三维方程在初速度极低的情况下的存在性和光滑性，但是仍然有很多工作需要完成。今天我们的节目就到这里，感谢大家收听，我们下期再见！