关于整除的故事

毕达哥拉斯对数字有很多发现。比如“朋友”数字。毕达哥拉斯认为朋友就是另
一个自我(这很象许多流行的警语，一个精彩的箩筐，能往里放很多喜欢的东西)。
数字里也有朋友，220和284，每一个都等于对方除数的和。(220的整除数有：1
2 4 5 10 11 20 22 44 55 110，和为 248，248的整除数有：1 2 71 142，其和
为 220)。另一对朋友数字是到两千多年后的1636年，由费尔马(Pierre de
Ferman)发现的: 是17296和18416。后来的数学家们又发现了许多。值得一提的
是其中大约第六十对，也是最小的一对1184和1210，是在1866由一个十六岁的意
大利学生发现的。毕达哥拉斯更喜欢完美数，即其所有整除数的和为自身。如6
的整除数为1 2 3，其和为 6， 28的整除数为 1 2 4 7 14，其和为 28。除6和
28外，古希腊人还知道496和 8128，第五个完美数33，550，336是七百多年后发
现的。到一九九八年四月，共发现有37个完美数，都是偶数。

17世纪，法国著名数学家费马（P·Fermat, 1608-1665)曾得到一个后人以其名字命名的定理：如果n为素数，a为任意自然数，那么a2-a是n的倍数。上述定理的逆命题是否成立呢？费马之后，研究者数不胜数。德国著名数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz, 1646-1716)就曾提出：如果n不是素数，那么2n-2就不是n的倍数。因此，在莱布尼兹看来，当a=-2时，费马定理的逆命题是成立的：如果an-a是n的倍数，那么n必为素数。无独有偶，中国清代大数学家李善兰(1811-1882)于1869年归纳得到了一个判定素数(李善兰称之为“数根”)的方法：用2的对数乘已知数，以所得乘积作为对数值，求出相应的真数，从中减去2。如果余数能被已知数整除，则己知数为素数；否则，它就不是素数。上述方法简单地说来就是：设n为已知自然数，如果2 n-2是n的倍数，那么n是素数，否则n就不是素数。一个名叫萨吕斯（A·Sarrus)的数学家所发现的反例彻底否定了莱布尼兹和李善兰的结论：尽管2341-2，是341的倍数，但341=11×31却是一个合数！后来人们又相继发现了更多的反例：561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2407，……数论中由不完全归纳得到的结论有时往往并不正确。

像这样，介绍历史上数学家的种种失误、数学发展的曲折艰辛，可以改变学生对错误的错误看法。让他们明白：“高贵”如数学也不过是人类的一种文化活动，任何学习和研究都会遭遇错误、挫折和失败。因此，用数学史来改变学生的错误观，是很有效的方法。

费马数猜想：大师的失误

1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子22n+1 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如22n+1的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如22n+1的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。

费马所研究的22n+1这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗？

进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大， Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5 ＝4294****97已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？

1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如22n+1的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”

这个问题吸引了欧拉。1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 ＝641×6700****，其中641=5×27+1这一结果意味着 是一个合数，因此费马的猜想是错的。

在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了。

此后人们对更多的费马数进行了研究。随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！因此人们开始猜想：在所有的费马数中，除了前五个是素数外，其他的都是合数。如果这一结论被证实，那么对于费马的草率猜想来说，恐怕不会有更为糟糕的结局了。