著名的五猴分桃数学问题

原型：3猴分桃每次正好均分型。

有3只猴子发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到，桃子恰好可以均分成3份,它拿上自己的一份走了.第2,3只猴子也采用了同样的方法,即把上一只猴子留下的桃子均分成3份拿上自己的一份离开。问这堆桃子至少有多少只？

方法一：不完全归纳法（适合小学生，高低年级均可）

方法二：方程法（适合小学高年级和初中生）

对高中生亦可用数列知识解释，每只猴子留下的桃子数构成一个公比是2/3的等比数列，由通项公式可直接写出最后一只猴子留下的桃子数。

1979年,诺贝尔奖获得者李政道教授到中国科技大学讲学,他给少年班的同学出了这样一道算术题:有5只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子最早来到,它左分右分分不开,就朝海里扔了一只,恰好可以分成5份,它拿上自己的一份走了.第2,3,4,5只猴子也遇到同样的问题,采用了同样的方法,都是扔掉一只后,恰好可以分成5份.问这堆桃子至少有多少只.据说没有一个同学能当场做出答案.

我整理了几种解法如下：

解法一：转化法，即用先借后还的办法转化为原型题，这是最简捷的解法。

解法二：不定方程法：

解答三： 《五猴分桃类型题通解公式》

湖南祁阳县陈小刚推导出了此类型题的通解公式：

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后面的两种冷门解法均综合了列举法+逆推法，需结合下列方法才快捷：

逆推法1：假设最后一只猴子看到桃子数，逆推前一只猴子看到的桃子数。

逆推法2：假设最后一只猴子每堆分桃子数，逆推前一只猴子每堆分桃子数。