数学二次函数

1.已知抛物线的顶点M在直线y=x上，M到原点距离为根号2抛物线与x轴的两个交点的横坐标乘积为-1，求函数的表达式。

解：设函数的表达式为y=ax²+bx+c。

若抛物线顶点在第一象限，则

-b/2a=1,（4ac-b²)/4a=1，c/a=-1.

解方程组-b/2a=1,①

(4ac-b²)/4a=1，②

c/a=-1.③

由①得b=-2a,④

由③得c=-a.⑤

把④、⑤代入②得(-4a²-4a²)/4a=1,即2a=-1,a=-1/2.

从而b=1,c=1/2.于是所求抛物线方程为

y=-x²/2+x+1/2。

若抛物线顶点在第三象限，

则b/2a=1,（4ac-b²)/4a=-1，c/a=-1.

解方程组b/2a=1,①

(4ac-b²)/4a=-1，②

c/a=-1.③

由①得b=2a,④

由③得c=-a.⑤

把④、⑤代入②得(-4a²-4a²)/4a=-1，即-2a=-1,a=1/2.

从而b=1,c=-1/2.于是所求抛物线方程为

y=x²/2+x-1/2。



2.抛物线的对称轴为x=-2，且与直线y=2x+1的直线只有一个公共点，他在x轴上截得的线段长为2根号2，求这个二次函数的解析式