微积分基本定理
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设f(x)在[a,b]上连续。F(x)是它的一个原函数。
设f(x)在[a,b]的最大值为M,最小值为m_从微积分基本定理:
F(b)-F(a)=∫[a,b]f(x)dx.又从拉格朗日公式:
存在c∈(a,b).F(b)-F(a)=F′(c)(b-a)=f(c)(b-a).
f(c)=(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx(此即f(x)在[a,b]上的平均值)
而m≤f(c)≤M,∴m≤(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx≤M。均值不等式成立。
设f(x)在[a,b]的最大值为M,最小值为m_从微积分基本定理:
F(b)-F(a)=∫[a,b]f(x)dx.又从拉格朗日公式:
存在c∈(a,b).F(b)-F(a)=F′(c)(b-a)=f(c)(b-a).
f(c)=(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx(此即f(x)在[a,b]上的平均值)
而m≤f(c)≤M,∴m≤(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx≤M。均值不等式成立。
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解析参见上面截图。
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