8×8的棋盘
8×8的棋盘上摆8粒棋子,要求每横,竖,斜行都只能有一粒棋子,请问怎么摆?
1个回答
这个问题是由高斯首先提出的。
解决这一问题的最直接方法是穷举出所有摆法。我们先用回溯的思想按行递推出一种合理方案。开始棋盘为空,第一个皇后可以放在第一行的任意一个位置。我们把它试置在(1,1)。这样,满足J=1或I=J的格子都不能再放皇后了。第二个皇后置在第二行,J可取3..8中的任意一列,我们先试放在(2,3)。那么第三行的J可以取4..8,先试(3,4)。以此类推,第四个皇后在(4,2)((4,7),(4,8)也可);然后是(5,6)((5,8)也可);第六行就只有(6,8)这一个位置可选。这时,第七行已没有空位置可放,说明前面皇后的位置试选得不对。回溯到上一行,由于第六行已没有其他位置可选择,只能删除(6,8)这个皇后,再退到第五行,把(5,6)的皇后移到(5,8)。这样,第六行又没有可选位置了,回溯到第四行,把(4,2)移到(4,7)……最后,得出第一种可行方案:(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)。
我们可以编写一个程序,让计算机按上述思路穷举出所有摆法(网上也很多,搜“八皇后”)。经计算机穷举,共有92种摆法。其实,这其中只有12种基本摆法,每种基本摆法又可经对称(水平、竖直、及沿两对角线翻转)、旋转(90、180、270度)等几何变换得出另外7种。这8种摆法的实质是一样的。那么,摆法共应有12*8=96种,为什么是92种呢?原来,在这12种基本摆法中,有一种是中心对称图形!用国际象棋记录法是:a4,b6,c8,d2,e7,f1,g3,h5_
推而广之还有所谓“N皇后问题”,即 在N*N的棋盘上,放置N个皇后。4皇后有2个答案,5后有10答,6后有4答,7后有40答,9后有352答,10后有724答。
解决这一问题的最直接方法是穷举出所有摆法。我们先用回溯的思想按行递推出一种合理方案。开始棋盘为空,第一个皇后可以放在第一行的任意一个位置。我们把它试置在(1,1)。这样,满足J=1或I=J的格子都不能再放皇后了。第二个皇后置在第二行,J可取3..8中的任意一列,我们先试放在(2,3)。那么第三行的J可以取4..8,先试(3,4)。以此类推,第四个皇后在(4,2)((4,7),(4,8)也可);然后是(5,6)((5,8)也可);第六行就只有(6,8)这一个位置可选。这时,第七行已没有空位置可放,说明前面皇后的位置试选得不对。回溯到上一行,由于第六行已没有其他位置可选择,只能删除(6,8)这个皇后,再退到第五行,把(5,6)的皇后移到(5,8)。这样,第六行又没有可选位置了,回溯到第四行,把(4,2)移到(4,7)……最后,得出第一种可行方案:(1,1),(2,5),(3,8),(4,6),(5,3),(6,7),(7,2),(8,4)。
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推而广之还有所谓“N皇后问题”,即 在N*N的棋盘上,放置N个皇后。4皇后有2个答案,5后有10答,6后有4答,7后有40答,9后有352答,10后有724答。
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