黎曼和与积分有什么关系
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线性性:黎曼积分是线性变换,也就是说,如果和在区间上黎曼可积,和是常数,则:
由于一个函数的黎曼积分是一个实数,因此在固定了一个区间后,将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。
正定性:如果函数在区间上几乎处处(勒贝格测度意义上)大于等于0,那么它在上的积分也大于等于零。如果在区间上几乎处处大于等于0,并且它在上的积分等于0,那么几乎处处为0。
可加性:如果函数在区间和上都可积,那么在区间上也可积,并且有
无论a、b、c之间的大小关系如何,以上关系式都成立。
上的实函数是黎曼可积的,当且仅当它是有界和几乎处处连续的。
如果上的实函数是黎曼可积的,则它是勒贝格可积的。
如果是上的一个一致收敛序列,其极限为,那么:
如果一个实函数在区间上是单调的,则它是黎曼可积的,因为其中不连续的点集是可数集。
由于一个函数的黎曼积分是一个实数,因此在固定了一个区间后,将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。
正定性:如果函数在区间上几乎处处(勒贝格测度意义上)大于等于0,那么它在上的积分也大于等于零。如果在区间上几乎处处大于等于0,并且它在上的积分等于0,那么几乎处处为0。
可加性:如果函数在区间和上都可积,那么在区间上也可积,并且有
无论a、b、c之间的大小关系如何,以上关系式都成立。
上的实函数是黎曼可积的,当且仅当它是有界和几乎处处连续的。
如果上的实函数是黎曼可积的,则它是勒贝格可积的。
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如果一个实函数在区间上是单调的,则它是黎曼可积的,因为其中不连续的点集是可数集。
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全文都是按有理数无理数划分的分段函数,为什么黎曼函数黎曼可积而狄利克雷函数黎曼不可积?
函数的可积性与是否分段无关。具体的可参照数学分析上测定积分的有关内容
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关于数学家黎曼的介绍
黎曼是德国的数学家、物理学家 。1851 年论证 了复变 函数可导的必要充分条件 。先后阐述了黎曼映射定理 、定义了黎曼积分、建立了黎曼空间的概念、引出黎曼曲面的概念 ,开创了解析数论的新时期 。
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