证明狄利克雷函数D(x)不可积。

主要证明：△x→0时，∑D(x)△x的值不定。

因为无论△x怎样小，在该区间上都同时存在x1，x2，使得x1为有理数，x2为无理数，那么D(x)=1 或者D(x)=0 ,如果∑D(x)△x中，所有D(x)都取1，那么△x→0时，∑D(x)△x→∞。

如果∑D(x)△x中，所有D(x)都取0，那么△x→0时，∑D(x)△x→0，即△x→0时，∑D(x)△x的值不定，所以狄利克雷函数D(x)不可积。

狄利克雷函数的公式定义：

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：

（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)= 0（x是无理数）或1（x是有理数）

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

证明狄利克雷函数不可积，有两种方法：

第一种见图：

第二种可以使用达布和来证明，过程类似。

希望对你有用！