初三数学题,要速度!
1个回答
解:
(1)由点B的坐标为(5,5√3
),AB=10
可以知道sin∠BAO=5√3/10=√3/2
所以∠BAO是60度角(同时根据题意可以得出CA垂直OA)
(2)△OPQ的面积S=底边OQ*高*1/2
假设P点和Q的运动速度为v(两点运动速度一样,这是题意)
这里,我们可以看到,底边OQ=vt+2;高为P点的横坐标,过P做PE垂直OA交OA于点E,可以看出来高=10(这是A点横坐标)-AE=10-1/2
AP(根据前面得出的60度角结果)=10-vt/2
所以△OPQ的面积S=(vt+2)(10-vt/2)/2------★
根据图②当t=5时,s=30,解上式可以算出v=2或者v=1.6
这时,本小问的最难点来了——抛物线S=(vt+2)(10-vt/2)/2,通过化简后,可以得出其对称轴(t=-b/2a)为t=9/v。我们通过图②可以看到,抛物线的对称轴t<5,而v=1.6时,t=9/1.6>5,所以v=1.6不符合题意。
所以,v=2是本小题的唯一解
(3)上题中标记★的式子即为面积S与时间t之间的函数关系式
同时,当抛物线处于顶点时,s值最大。这时,t=9/v=4.5
又由(2)题前面的分析,P点横坐标=10-vt/2,代入后得横坐标=5.5,且由图及之前结果知纵坐标=(10-5.5)√3
=4.5√3
即点P(5.5,4.5√3
)
(4)本小问比较难了。如果全题是15分,那么本小问应该不会超过3分。考试的时候可以考虑舍去。
可以得分的解答方法如下:
当P运动至点B时,可以计算得P点坐标为(5,5√3),Q点坐标为(0,12),角POQ=30度。
这时可以算得三角形三边各自的长度。
并且我们发现QO的平方>PO的平方+PQ的平方。所以角OPQ为钝角(余弦定理的衍生)
由于点P沿边AB运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大。所以在P从A到B移动的过程中,必有一点,使得角OPQ=90度。
同理可以假设P移到C,这时可以根据余弦定理的衍生,得出角OPQ是什么角。根据P沿着边BC运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,如果P在C时,角OPQ也是钝角,那么中途肯定不会有直角出现,如果角OPQ是锐角或者直角。那么一定有一点P存在于BC间,使得角OPQ是直角。
道理如上,最后的实际答案是这样的点P有两个。
(1)由点B的坐标为(5,5√3
),AB=10
可以知道sin∠BAO=5√3/10=√3/2
所以∠BAO是60度角(同时根据题意可以得出CA垂直OA)
(2)△OPQ的面积S=底边OQ*高*1/2
假设P点和Q的运动速度为v(两点运动速度一样,这是题意)
这里,我们可以看到,底边OQ=vt+2;高为P点的横坐标,过P做PE垂直OA交OA于点E,可以看出来高=10(这是A点横坐标)-AE=10-1/2
AP(根据前面得出的60度角结果)=10-vt/2
所以△OPQ的面积S=(vt+2)(10-vt/2)/2------★
根据图②当t=5时,s=30,解上式可以算出v=2或者v=1.6
这时,本小问的最难点来了——抛物线S=(vt+2)(10-vt/2)/2,通过化简后,可以得出其对称轴(t=-b/2a)为t=9/v。我们通过图②可以看到,抛物线的对称轴t<5,而v=1.6时,t=9/1.6>5,所以v=1.6不符合题意。
所以,v=2是本小题的唯一解
(3)上题中标记★的式子即为面积S与时间t之间的函数关系式
同时,当抛物线处于顶点时,s值最大。这时,t=9/v=4.5
又由(2)题前面的分析,P点横坐标=10-vt/2,代入后得横坐标=5.5,且由图及之前结果知纵坐标=(10-5.5)√3
=4.5√3
即点P(5.5,4.5√3
)
(4)本小问比较难了。如果全题是15分,那么本小问应该不会超过3分。考试的时候可以考虑舍去。
可以得分的解答方法如下:
当P运动至点B时,可以计算得P点坐标为(5,5√3),Q点坐标为(0,12),角POQ=30度。
这时可以算得三角形三边各自的长度。
并且我们发现QO的平方>PO的平方+PQ的平方。所以角OPQ为钝角(余弦定理的衍生)
由于点P沿边AB运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大。所以在P从A到B移动的过程中,必有一点,使得角OPQ=90度。
同理可以假设P移到C,这时可以根据余弦定理的衍生,得出角OPQ是什么角。根据P沿着边BC运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小,如果P在C时,角OPQ也是钝角,那么中途肯定不会有直角出现,如果角OPQ是锐角或者直角。那么一定有一点P存在于BC间,使得角OPQ是直角。
道理如上,最后的实际答案是这样的点P有两个。
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