一道简单的数学题

x-x^2=1/4-(1/4-x+x^2)=1/4-(x-1/2)^2 ≤ 1/4

当且仅当x=1/2时,等号成立。

即x＝1/2时，原式结果最大，等于1/4

x-x²=-x²+x=-（x²-x)=-(x-½）²+¼
∵（x-½）²≥0
∴-（x-½）²≤0
所以当x=½时有最大值¼

字有点小，慢慢看

5h2dd的回答最具体了！！！
配方法是初中学的，很重要的！配方法是为了把函数化为“顶点式”从而看出函数的最值。函数开口朝上，函数有最小值，开口朝下，有最大值。你实在不会配方的话我教你一种最简单的配方。
现有函数y=ax^+bx+c,则他的顶点坐标为（-b/2a,-(b^-4ac)/4a)记住这两个公式，所有的二次函数的配方都迎刃而解了！把具体的abc代入就好了。
原函数写成配方就是y=a（x+b/2a）^-(b^-4ac)/4a【顶点的x坐标要变号！】

多种方法
一 配方法
x-x^2=-(x-1/2)^2+1/4
所以当x=0.5时，原式＝0+1/4＝0.25，此为最大值
具体过程如下
x-x^2=-(x^2-x)=-(x^2-x+1/4)+1/4=-(x-1/2)^2+1/4

二 画图法
令f(x)=x-x^2 做出f(x)图像 很显然 所以当x=0.5时函数值最大为0.25
三 导数法
令f(x)=x-x^2 对f(x)求导得f'(x)=1-2x
令f'(x)=0 得x=0.5 求得f(x)的一个极大值
此时极大值就是最大值
所以令x=0.5 函数值最大为0.25

现对楼主的疑惑进行解答
首先4x^2-4x+1=(2x-1)^2对于这个式子的正确性
是不容置疑的 左右两边式子是等效的
就相当于用了 一些数学方法变形转化得来
类似于2+3=1+4

4x^2-4x+1是否肯定大于等于零.即4x^2-4x+1<0有没有成立的可能性
对于楼主这句话的疑惑
其实我最推荐 楼主用图像法来解决
许多函数问题 用图像都可以直观得看出
先建立一个直角坐标系 画出4x^2-4x+1=0的图像
很显然图像全部在X轴上方 当然除了顶点在X轴上
也就是说4x^2-4x+1=0的函数值 全部大于等于0

可以看成是一个二次函数y=-x²+x
对称轴是x=0.5，把x=0.5代入就得到y=0.25，0.25就是最大值

思路就是用配方法，配成平方的形式：

x-x^2=-(x-1/2)^2+1/4

所以当x=0.5时，原式＝0+1/4＝0.25，此为最大值