棱长为a的正四面体,内切球半径及外接球半径大小
4个回答
连接正四面体的各个三角形的中心,形成一个新的正四面体。容易证明,新正四面体的边长为a/3.
我想,按这个思路做下去,大概是比较简单的做法。
原来四面体的内切圆是新四面体的外接圆。
所以外接圆半径r是内切圆半径r的3倍。
r=3r,
作图即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根号3)a/2]^2
=>r=a/(2根号6)
r=3a/(2根号6)
我想,按这个思路做下去,大概是比较简单的做法。
原来四面体的内切圆是新四面体的外接圆。
所以外接圆半径r是内切圆半径r的3倍。
r=3r,
作图即可知道
(3r)^2=r^2+[(2/3)×(根号3)a/2]^2
=>r=a/(2根号6)
r=3a/(2根号6)
内切球半径为12分之根号6倍a;外接球半径9分之根号6倍a
r=(√6/12)a
R=(√6/4)a
r=(√6/12)a
R=(√6/4)a
内切球半径为12分之根号6倍a;外接球半径4分之根号6倍a。
正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上,而这一点是四面体其中两平面作垂线的交点O。可用截面方法求出垂线长度h为三分之根号6倍a。然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥(交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线,把四面体分成四份,每份为一个小三棱锥)从所合成的。利用等体积法,四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可很容易求出小三棱锥的高,三棱锥的高即内切球半径,h减去内切球半径即外接球半径。
正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上,而这一点是四面体其中两平面作垂线的交点O。可用截面方法求出垂线长度h为三分之根号6倍a。然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥(交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线,把四面体分成四份,每份为一个小三棱锥)从所合成的。利用等体积法,四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可很容易求出小三棱锥的高,三棱锥的高即内切球半径,h减去内切球半径即外接球半径。
内切球半径r=(√6/12)a,外接球半径R=(√6/4)a。
正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上,而这一点是四面体其中两平面作垂线的交点O。可用截面方法求出垂线长度h为三分之根号6倍a。
然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥(交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线,把四面体分成四份,每份为一个小三棱锥)从所合成的。
利用等体积法,四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可很容易求出小三棱锥的高,三棱锥的高即内切球半径,h减去内切球半径即外接球半径。
扩展资料
正四面体的性质:
1.正四面体的每一个面是正三角形,反之亦然。
2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。
3.正四面体是两组对棱垂直的等面四面体。
4.正四面体的四个旁切球半径均相等,等于内切球半径的2倍,或等于四面体高线的一半。
5.正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心,或内心,或垂心,或重心,除外心外,其逆命题均成立。
6.正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和,小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
7.正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
正四面体外接球球心与内切球球心是在同一点上,而这一点是四面体其中两平面作垂线的交点O。可用截面方法求出垂线长度h为三分之根号6倍a。
然后把四面体看成由四个相等的小三棱锥(交点O出发向四面体的三个顶点引出三条线,把四面体分成四份,每份为一个小三棱锥)从所合成的。
利用等体积法,四个小三棱锥的体积等于四面体的体积可很容易求出小三棱锥的高,三棱锥的高即内切球半径,h减去内切球半径即外接球半径。
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正四面体的性质:
1.正四面体的每一个面是正三角形,反之亦然。
2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体。
3.正四面体是两组对棱垂直的等面四面体。
4.正四面体的四个旁切球半径均相等,等于内切球半径的2倍,或等于四面体高线的一半。
5.正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心,或内心,或垂心,或重心,除外心外,其逆命题均成立。
6.正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和,小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
7.正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
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