高一数学难题,高手进
已知函数f(x)=ln(x+√(1+x^2)),当x∈【1,2】时,不等式f(a*4^x)+f(2^x+1)>0恒成立,求a的取值范围.
1个回答
解析:∵f(-x)=ln[√(1+x^2)-x]=ln1/[√(x^2+1)+x]=-ln[√(x^2+1)+x]=-f(x),
∴f(x)为奇函数,
∵f(a*4^x)+f(2^x+1)>0
∴f(a*4^x)>-f(2^x+1)
即f(a*4^x)>f(-2^x-1),
又f(x)在【1,2】上单调递增,
得a*4^x>-2^x-1,
∵4^x>0∴a>-(2^x+1)/4^x=-(1/2^x)^2-(1/2^x),
令g(x)=-(1/2^x)^2-(1/2^x),
∵x∈[1,2]∴1/2^x∈[1/4,1/2].
则g(x)在[1/4,1/2].单调递减,
故g(x)max=g(2)=-5/16,
∴a>-5/16
∴a的取值范围为(-5/16,+∞)
∴f(x)为奇函数,
∵f(a*4^x)+f(2^x+1)>0
∴f(a*4^x)>-f(2^x+1)
即f(a*4^x)>f(-2^x-1),
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得a*4^x>-2^x-1,
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∵x∈[1,2]∴1/2^x∈[1/4,1/2].
则g(x)在[1/4,1/2].单调递减,
故g(x)max=g(2)=-5/16,
∴a>-5/16
∴a的取值范围为(-5/16,+∞)
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