函数极限的唯一性怎么证明
2个回答
唯一性:
lim Xn=a lim Xn=b
由定义:
任意ε>0,存在N1>0,当n>N1,有|Xn-a|<ε/2
对上述ε>0,存在N2>0,当n>N2,有|Xn-b|<ε/2
因此,取N=max{N1,N2}
对上述ε>0,存在N>0,当n>N,有|Xn-a|<ε且|Xn-b|<ε/2
而,|b-a|=|Xn-a-Xn+b|<|Xn-a|+|Xn-b|<ε/2+ε/2=ε
故,a=b
保号性:
lim xn=a>0
由定义:
任意ε>0,存在N>0,当n>N,有|xn-a|<ε
由ε的任意性可知,上定义对任何ε都成立
不妨取ε=a/2
则有,|xn-a|即,a/2 故有:
存在N>0,当n>N,有xn>a/2
同理可证a<0的情况
保号性的意义:
如果有一个数列an,其极限lim an=a>0
那么,我们可以知道,必定存在一个N,当n>N,所有的an>0
小于0同理
有不懂欢迎追问
lim Xn=a lim Xn=b
由定义:
任意ε>0,存在N1>0,当n>N1,有|Xn-a|<ε/2
对上述ε>0,存在N2>0,当n>N2,有|Xn-b|<ε/2
因此,取N=max{N1,N2}
对上述ε>0,存在N>0,当n>N,有|Xn-a|<ε且|Xn-b|<ε/2
而,|b-a|=|Xn-a-Xn+b|<|Xn-a|+|Xn-b|<ε/2+ε/2=ε
故,a=b
保号性:
lim xn=a>0
由定义:
任意ε>0,存在N>0,当n>N,有|xn-a|<ε
由ε的任意性可知,上定义对任何ε都成立
不妨取ε=a/2
则有,|xn-a|即,a/2
存在N>0,当n>N,有xn>a/2
同理可证a<0的情况
保号性的意义:
如果有一个数列an,其极限lim an=a>0
那么,我们可以知道,必定存在一个N,当n>N,所有的an>0
小于0同理
有不懂欢迎追问
证明如下:
假设存在a,b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限,且a任意给定ε>0(要注意,这个ε是对a,b都成立)。
总存在一个δ1>0,当0<丨x-x。丨<δ1时,使得丨f(x)-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0,当0<丨x-x。丨<δ2时,使得丨f(x)-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε 令δ=min{δ1,δ2},当0<丨x-x。丨<δ时。①,②两个不等式同时成立。
因为①,②两个不等式同时成立,所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即:b-ε≤a+ε,移项得:(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数,所以这个结论与极限的定义:“ε可以任意小”矛盾,所以假设不成立,因此不存在a,b两个数都是f(x)的极限,除非a=b矛盾才不会出现。
倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明,证法完全一样。
证毕。
假设存在a,b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限,且a任意给定ε>0(要注意,这个ε是对a,b都成立)。
总存在一个δ1>0,当0<丨x-x。丨<δ1时,使得丨f(x)-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0,当0<丨x-x。丨<δ2时,使得丨f(x)-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε
因为①,②两个不等式同时成立,所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即:b-ε≤a+ε,移项得:(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数,所以这个结论与极限的定义:“ε可以任意小”矛盾,所以假设不成立,因此不存在a,b两个数都是f(x)的极限,除非a=b矛盾才不会出现。
倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明,证法完全一样。
证毕。
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全文当一个函数趋向无穷 正无穷与负无穷的极限不同 那么此函数有极限么?
没有,极限具有唯一性。就一个原则,左右极限都存在且相等,则极限存在。
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