换元法怎么解
2个回答
换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等
局部换元:又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先变形为设2 =t(t>0),
三角换元:应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2的值域时,若x∈[-1,1],设x=sin α ,sinα∈[-1,1 ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ^2+y^2 =r ^2(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元:如遇到x+y=2S形式时,设x= S+t,y= S-t等等。
例如清华大学自主招生考试题,已知a,b为非负实数,M=a^4+b^4,a+b=1,求M的最值
可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M,M=2×(t^2+3/4)^2-1,由二次函数性质知M(min)=1/8,M(max)=1.
局部换元:又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4 +2 -2≥0,先变形为设2 =t(t>0),
三角换元:应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=√1-X^2的值域时,若x∈[-1,1],设x=sin α ,sinα∈[-1,1 ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ^2+y^2 =r ^2(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元:如遇到x+y=2S形式时,设x= S+t,y= S-t等等。
例如清华大学自主招生考试题,已知a,b为非负实数,M=a^4+b^4,a+b=1,求M的最值
可令a=1/2-t,b=1/2+t(0≤t≤1/2),带入M,M=2×(t^2+3/4)^2-1,由二次函数性质知M(min)=1/8,M(max)=1.
等价变换未知量。比如说x ^2+y^2 =r ^2(r>0),可以换成x=rcost、y=rsint,还有许多换法,这只是最常见的一种
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用三次元跤换二次元跤~
什么??
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