拉格朗日中值定理证明是什么?
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拉格朗日中值定理证明如下:
如果函数f(x)在(a,b)上可导,[a,b]上连续,则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y,所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时,函数增量△y的准确表达式,因此本定理也叫有限增量定理。
定理内容:
若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:
(1)在[a,b]连续。
(2)在(a,b)可导。
则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)。
证明:
把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x。
做辅助函数G(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)。
易证明此函数在该区间满足条件:
1.g(a)=g(b)=0。
2.g(x)在[a,b]连续。
3.g(x)在(a,b)可导。
此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。
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书上证明太过复杂,这里给出一种简单证明方法
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