高等数学，如何快速判断f（x）能否展开成x的幂级数？

只要f(x)的n阶导数存在即可，但具体的情况得作具体分析。所给例子可以通过比较 1/（1-x) = 1 + x + x^2 +.. + x^n, n -> oo 的展开得到。
x^2/(1-x^2) = x^2[1+x^2+x^4+...+x^(2n)] = x^2 + x^4 + x^6 + ... + x^(2n+2), n -> oo.
收敛区域：-1 < x < 1

一般都能展成 x 的幂级数， 只是收敛域不同。
f(x) = x²/(1-x²) = -(1-x^2-1)/(1-x^2) = -1+1/(1-x^2)
= -1+∑x^(2n), (-1 < x < -1)

伯努利数是伯努利在做等幂和的时候定义的，之后又是如何被定义到上述的幂级数展开式的呢？

1/(1-x) =1+x+x^2+...
1/(1+x) =1-x+x^2+.....+(-1)^n.x^n +...
f（x）
=x^2/(1-x^2)
=-1 + 1/(1-x^2)
=-1+(1/2) [1/(1-x) +1/(1+x) ]
=-1 + ( 1+x^2+x^4+....+x^(2n)+....)