高中数学幂函数的导数公式
幂函数的公式是:f(x) = a^x
在这个公式中,a 表示底数,可以是任意实数(正数、负数、零),但不能等于 1。x 表示指数,可以是任意实数。
幂函数谨备的特点如下:
1. 当底数 a 大于 1 时,随着指数 x 的增大,函数值也会增大,形成上升曲线。例如,f(x) = 2^x 是一个增长迅速的幂函数。
2. 当底数 a 介于 0 和 1 之间时,随着指数 x 的增大,函数值会减小,形慧蔽成下降曲线。例如,f(x) = 0.5^x 是一个逐渐趋近于零的幂函数。
3. 当底数 a 小于 0 时,幂函数的性质会有所变化,因为底数为负数时,指数为奇数和偶数的情况会有所不同。例如,f(x) = (-2)^x 可以是一个上升或下降的曲线,具体取决于 x 的奇偶性。
幂函数在前晌州数学和自然科学中有广泛的应用,例如在经济学中用于描述指数增长或衰退,物理学中用于描述指数衰减或增长的过程,以及在计算机科学中用于算法分析等领域。
三角函数升幂公式和降幂公式如下:
1、某个可导函数在某一个具体点的切线的斜率。这个斜率值就是原函数在该点的导数,也可以成为导数值。
2、某个可导函数的导函数,也就是说导函数在任何点的值,都是原函数在相应点的导数。在不引起误会的情况下,导函数也可以简称为导数。
除了直线以外的其他函数,不同点的导数值一般是不一样的。
只有直线,才是各个点的导数值都一样。即直线函数的导函数是常数函数。
证明如下:
假设我们要求f(g(x))对x的导数,且f(g(x))和g(x)均可导。
首先,根据定义:当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0
设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)
就有:g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h
同理:f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k
所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)
所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h
=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]
当h->0时,u和v都->0,这个容易看。
所以当h->0时,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]
=f'(g(x))·g'(x)
然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)
证毕
简介
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当Mx∩Du≠Ø时,二者才可以构成一个复合函数。
设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u。
有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(composite function),记为:y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。
复合函数求导公式:①设u=g(x),对f(u)求导得:昌族f'(x)=f'(u)*g'(x),设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。
设函数y=f(u)的定义域为4102Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果 Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u,有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系,记为: y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)1653。
扩展资料
可以罩纯通过观察自变量的形式来确定此函数是否为复合函数。举个例子,如f(x)=sin(x),自变量是x,这就是个简单的函数。
再如f(x)=sin²(x),虽说自变量仍然是x,但原函数也可以换个角物迅咐度,看作f(u)=u²,自变量是u=sin(x),这样的话,sin²(x)就是个复合函数了。
设函数Y=f(u)的定义域为D,函数u=φ(x)的值域为Z,如果D∩Z,则y通过u构成x的函数,称为x的复合函数,记作Y=f[φ(x)]。x为自变量,y为因变量,而u称为中间变量。
性质比较单一,当a>1时,函数是递增函数,且y>0;
当00.
2.幂函数:自变量x在底数的位置上,y=x^a(a不等于1).
a不等于1,但可正可负,取不同的值,图像及性质是不一样的。
高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时,函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。
3.y=8^(-0.7)是一个具体数值,并不是函数,如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成:指数函数y=8^x(a=8),当x=-0.7时,y的值;或者将其看成:幂函数y=x^(-0.7)(a=-0.7),当x=8时,y的值。
复合函数导数公式是f'[g(x)]=f'(u)*g'(x)。
复合函数的运算法明拆答则:
设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)御衡的定义域为Dx,值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系激慧。
复合函数求导的方法:
f[g(x)]中,设g(x)=u,则f[g(x)]=f(u),从而(公式):f'[g(x)]=f'(u)*g'(x),举个例子,f[g(x)]=sin(2x),则设g(x)=2x,令g(x)=2x=u,则f(u)=sin(u)。
所以f'[g(x)]=[sin(u)]'*(2x)'=2cos(u),再用2x代替u,得f'[g(x)]=2cos(2x)。
以此类推y'=[cos(3x)]'=-3sin(x),y'={sin(3-x)]'=-cos(x),一开始会做不好,老是要对照公式和例子。
但只要多练练,并且熟记公式,最重要的是记住一两个例子,多练习就会了。
可导函数的条件是在定义域内,必须是连续的.可导函数都是连续的,但是连续函数不一定是可导函数.
例如,y=|x|,在x=0上不可导.即使这个函数是连续的,但是lim(x趋向0+)y'=1,lim(x趋向0-)y'=-1,两个值不相等,所以不是可导函数.
也就是说在每一个点上导数的左右极限都相等的函数是可导函数,反之不是
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