高次方程韦达定理

韦达出生在法国东部的普瓦图的韦特奈，早年学习法律，毕业后成为一名律师，在法国议会里工作。

虽然韦达不是学数学的，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学。

当他被某一数学问题吸引住时，他总是一连数日将自己关在房间里。

他把自己的绝大部分业余时间都贡献给了数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家。

1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》，这是欧洲第一本使用六种三角函数系统的平面、球面三角学。韦达的主要著作有《数学典则》，他发现了sinA和cosA的展开式。

韦达曾解出了著名的几何问题，求作一圆切于三个已知圆（原出阿波罗尼奥斯，解法早已失传），韦达用严格的尺规作图法作出。从某个方面讲，韦达是个几何学上的权威。他利用了阿基米德的方法，通过许多边的多边形来计算圆周率（π）。在计算中韦达使用了393.216边的多边形，得出的π值精确到小数点后九位——是当时求出的最佳，π值。

韦达著作有《分析方法入门》、《论方程的识别与修正》、《分析五章》、《应用于三角形的数学定律》等多种。

由于韦达做出了许多重要贡献，成为16世纪法国最杰出的数学家。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。

他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作，是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。

韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法，不赞成使用Algebra这个外来词。

他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三次、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。因此，他获得了“代数学之父”之称。

韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈。他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家。

韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。他还写下了《数学典则》(1579年)、《应用于三角形的数学定律》(1579年)等不少数学论著。韦达的著作，以独特 形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容。只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播。在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版。韦达1603年卒于巴黎，享年63岁。下面是关于韦达的两则趣事：

与罗门的.较量

比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战。法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解。答案公布，震惊了数学界。韦达又回敬了罗门一个问题。罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。

韦达的“魔法”

在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。另外，韦达还设计并改进了历法。所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在着作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

　　历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达（François Viète,1540~1603）,法国数学家。年轻时当过律师，后来致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为‘韦达定理’)，在欧洲被尊称为‘代数学之父’。

设方程为
aX^3+bX^2+cX+d=0，
则有
X1·X2·X3=—d/a；
X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；
X1+X2+X3=—b/a。

一元三次方程韦达定理是：

设三次方程为ax^3+bx^2+cx+d=0

三个根分别为x1，x2，x3，则方程又可表示为a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0

即ax^3-a(x1+x2+x3)x^2+a(x1*x2+x2*x3+x3*x1)-ax1*x2*x3=0

对比原方程ax^3+bx^2+cx+d=0 可知

x1+x2+x3=-b/a

x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a

x1*x2*x3=-d/a

实数根：

虽然三个根都是实数根，但是求解过程中却遇到了虚数。虚数经过运算后，最终结果为实数。这个三次方程的根比较简单，求解过程中遇到的三次重根式可以化简。

但是，绝大多数三次方程的根都是无理数，其三次重根式无法化简，那么这时就必须要用虚数才能用根号精确表示这些复杂的无理实根，即：用带虚数的根式来表示一个实数。

由此可见，三次方程的根比二次方程的根的复杂度要高出很多。二次方程的根仅仅用单层二次根号就能精确表示出来，而三次方程的根不仅需要用到二、三次双重根号，有时甚至还需要用到虚数才能精确表示。

1、方程若有两根，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数；这个定理对解决这四个方面的问题有着不可替代的作用。

2、求与两根有关的代数式的值，用方程根与系数的关系求出两根之和两根之积，再用整体代换思想求值。

3、已知一根求另一根，采用韦达定理只需利用两根之积等于常数项除以二次项系数，就可以建立新方程，求出另一根。

4、已知对称式值求字母系数值，需要转化为关于a的方程；用韦达定理只需进行等量代换。

扩展资料

判别式为：

（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

性质：

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。

利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。