初中数学抛物线的基本知识点

抛物线教案教学内容：1．抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；2．描点画抛物线．教学目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化．一、课题引入先复习抛物线的定义、四类标准方程以及相应的焦点坐标、准线方程．然后提出：为了准确而简便地画出抛物线的图形,应对抛物线的标准方程所对应的图形的位置有一个大体的估计,为此要先对抛物线的范围、对称性、截距进行讨论．还应明确,把抛物线的定义与椭圆、双曲线的第二定义加以对比,提出抛物线的离心率等于1．二、知识讲解1．抛物线对学生来说是比较熟悉的,有了讨论椭圆、双曲线几何性质的基础,再讨论抛物线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）不会遇到什么障碍．但要注意：抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大,它的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线,它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线．2．在抛物线的标准方程y2＝2px（p＞0）中,令x＝,则y＝±p．这就是说,通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标为（,p）,（,－p）,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长是2p．利用抛物线的几何性质及抛物线上坐标为（,p）,（,－p）的两点,能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图．三、例题讲解例1．已知抛物线的顶点在原点且经过点（5,5）,x轴为对称轴,求这抛物线的方程,并画出它的图形．分析：首先由已知点坐标代入方程,求参数p．设抛物线方程为y2＝2px,因为它过点（5,5）,故　　52＝2p×5,p＝所以　　抛物线方程为y2＝5x．列表x01.2522****…y02.53.23.23.93.9…描点,画图,（图略）例2．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm,灯深为40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出p值．（见课本P99）例3．过抛物线y2＝2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P1、P2两点,求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图2-15．设P1P2的中点为P0,过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1,P0Q0,P2Q2,垂足为Q1、Q0、Q2,则｜P1F｜＝｜P1Q1｜,｜P2F｜＝｜P2Q2｜∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因而圆P0和准线l相切．例题4 .直线与交于A,B两点,且AB中点坐标是2,则此直线的斜率是 例题5 .上三点的纵坐标的平方成等差数列,求证：这三点与焦点的连线段长也成等差数列.四、练习与讲评1．求满足下列条件的抛物线的方程（1）顶点在原点,焦点是（0,－4）（2）顶点在原点,准线是x＝4（3）焦点是F（0,5）,准线是y＝－5（4）顶点在原点,焦点在x轴上,过点A（－2,4）2．在同一坐标系中,画出下列抛物线的草图．（1）y2＝2x （2）y2＝x （3） （4）y2＝4x比较这些图形,说明抛物线开口大小与方程中x的系数是怎样的关系．3．一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是1.1m,跨度是2.2m,求拱形的抛物线方程．4．设抛物线y2＝4x的焦点F,准线l交x轴于R,过抛物线上一点P（4,4）作PQ⊥l于Q．求梯形PFRQ的面积．答　案1．（1）x2＝－16y （2）y2＝－16x （3）x2＝20y（4）y2＝－8x2．（图略）x的系数越大,抛物线张口越大3．4．14讲评：（1）要正确判断抛物线的标准形式．（2）注意p＞0．（3）对于实际问题,要合理选择坐标系．小结：1.抛物线的几何性质2.数与形的结合与转化

初三数学抛物线知识点有以下几点：
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b^2-4ac

存在，直线CD表达式是 x-y+3=0;
设点P的坐标为（1，n）
PA*PA=4+n*n;两点之间距离公式
点P到直线CD的距离是 |1-n+3|/根号2；点到直线距离公式。
PA=CD从而（4-n)*(4-n)/2=4+n*n
n=-4+2根号6或-4-2根号6
附注；Ax+By+C=0到点（m，n）的距离是|Am+Bn+C|/(根号下（A*A+B*B））

美梦成真 许茹芸

设一个质点重量为m，地球引力常数为g，质点上抛速度为v，仰角为a。
有森皮明参数方程：y=v*t*sina-gt^2/2
x=v*t*cosa
可化为抛物此告线方程形式，通过坐标移动得到握郑标准方程。
这个抛物线定义从物理上来的。

把圆方程配方。。得到圆心坐标。。
圆心有了。。。就知道 抛物线的开口方向，，焦距了。。
然后直接写出其标准解析式。

直线过定点，，有倾角（相当给了斜率） 点斜式 不直接出来了直线方程么？
求面积 AB两点坐标可以求出来，但未见需要求：
看需不需要 就以坐标轴将三角形分割一下 还有A B两点在交点，它在抛物线上。这两个点还有定义性质，它到准线距离与到焦点的距离是有关系式的。。
抛物线就这么些东西。。。

以上是解题思路。

设y^2=2p(x-m) 由题可知m=p/2 y^=4mx-4m^2
p(x,y) PA^2=(x-3)^2+y^2=x^2+(4m-6)x-4m^2+9
对称轴6-4m x>=m
1.当m<6-4m x=6-4m最小 解m
2.当m>6-4m x=m最小 解m
m自己解吧，我没时间解了。

证明：F点为(p/2，0)，直线L的斜率为tanα，
则直线L的方程为y=tanα(x-(p/2))；
联立y²=2px，消去x得：y²-((2p)/tanα)y-p²=0
则y1+y2=(2p)/tanα，y1y2=-p²；
|AB|=|y1-y2|/sinα=√((y1+y2)²-4y1y2)/sinα
代入相关表达式，化简得
|AB|=√(((2p)/tanα)²-4×(-p²))/sinα
=2|p|cscα/sinα=2|p|/sin²α。
即|AB|=2|p|/sin²α，证毕！