高考数学-双曲线知识点
1、双曲线的定义:一般的,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支:双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左支与右支;当焦点在y轴上时,为上支与下支。
3、双曲线的顶点:双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴:两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是:将标准方程的右边的常数改为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
1、双曲线的定义:一般的,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支:双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左支与右支;当焦点在y轴上时,为上支与下支。
3、双曲线的顶点:双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴:两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是:将标准方程的右边的常数改为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
一、 本讲主要内容
1、 双曲线的第二定义
2、 双曲线的几何性质及应用
3、 直线与双曲线的位置关系
二、 学习指导
1、 双曲线的几何性质分为两大类
(1) 自身固有的几何性质:
① 位置关系:中心是两焦点,两顶点的中点;焦点在实轴上;实轴与虚轴垂直;双曲线有两条过中心的渐近线;准线与实轴垂直;
② 数量关系:实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c。两准线之间距离为 ; 焦准距(焦参数) ;
③ 离心率 ,e>1,e越大,双曲线开口越阔。
(2) 解析性质(与坐标系有关),列表比较如下:
焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线
方 程 (a>0,b>0)
(a>0,b>0)
顶 点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0)
焦 点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
准 线 x=±
y=±
渐近线 y=±
y=±
对称性 关于x轴、y轴轴对称,关于原点中心对称
范 围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R
焦半径 P在左支:|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0
P在右支:|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a P在下支:|PF1|=-a-ey0,|PF2|=a-ey0
P在上支:|PF1|=ey0+a,|pF2|=ey0-a
2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同,见教材P112.例3。第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。
3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线,因此当直线与双曲线有一个公共点时,其位置有两种情形:一是直线与双曲线相切,此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x(或y)的二次方程的判别式△=0;二是直线与双曲线相交,具体地说,也就是直线与双曲线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x(或y)的方程为一次方程。
直线与双曲线相交时,基本处理途径有二:一是列方程组;二是用点差法。不管是哪一种途径,都要强化设而不求的思想。
4、在 (a>0,b>0)中,若a=b,则双曲线为等轴双曲线,其离心率 。
5、 双曲线 与 称为共轭双曲线。
5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换;它们的焦点共圆;它们的离心率e1、e2满足 =1。
6、已知双曲线方程为 ,则其渐近线方程为 ;若已知渐近线方程为 ,则对应的双曲线方程为
双曲线的基本知识点:
1、位置关系:中心是两焦点,两顶点的中点:焦点在实轴上;实轴与虚轴垂直;双曲线有两条过中心的渐近线;准线与实轴垂直。
2、数量关系:实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c。两准线之间距离为﹔焦准距(焦参数)。
3、离心率:e>1,e越大,双曲线开口越阔。
扩展资料
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。
所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线{\displaystylef(x)=1/x}f(x)=1/x的情况下,渐近线是两个坐标轴。
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向。
当λ<0时,λa与a反方向。
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍。
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
双曲线的知识点总结如下:
1、双曲线的定义:一般的,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支:双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左支与右支;当焦点在y轴上时,为上支与下支。
3、双曲线的顶点:双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴:两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是:将标准方程的右边的常数改为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
双曲线的知识点主要包括标准方程、范围、焦点、离心率、切线方程、第二定义。
双曲线可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上,它们的中间点叫做中心,中心一般位于原点处。
重点:
取值范围:│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)。
对称性:关于坐标轴和原点对称,其中关于原点成中心对称。
顶点:
A(-a,0),A'(a,0)。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b),B'(0,b)。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0,-c),F2(c,0)或(0,c)。F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c。
对实轴、虚轴、焦点有:a2+b2=c2。
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