数学双曲线初中知识点
1、双曲线的定义:一般的,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支:双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左支与右支;当焦点在y轴上时,为上支与下支。
3、双曲线的顶点:双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴:两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是:将标准方程的右边的常数改为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
1、双曲线的定义:一般的,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支:双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左支与右支;当焦点在y轴上时,为上支与下支。
3、双曲线的顶点:双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴:两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是:将标准方程的右边的常数改为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
一、 本讲主要内容
1、 双曲线的第二定义
2、 双曲线的几何性质及应用
3、 直线与双曲线的位置关系
二、 学习指导
1、 双曲线的几何性质分为两大类
(1) 自身固有的几何性质:
① 位置关系:中心是两焦点,两顶点的中点;焦点在实轴上;实轴与虚轴垂直;双曲线有两条过中心的渐近线;准线与实轴垂直;
② 数量关系:实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c。两准线之间距离为 ; 焦准距(焦参数) ;
③ 离心率 ,e>1,e越大,双曲线开口越阔。
(2) 解析性质(与坐标系有关),列表比较如下:
焦点在x轴上的双曲线 焦点在y轴上的双曲线
方 程 (a>0,b>0)
(a>0,b>0)
顶 点 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0)
焦 点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
准 线 x=±
y=±
渐近线 y=±
y=±
对称性 关于x轴、y轴轴对称,关于原点中心对称
范 围 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R
焦半径 P在左支:|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0
P在右支:|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a P在下支:|PF1|=-a-ey0,|PF2|=a-ey0
P在上支:|PF1|=ey0+a,|pF2|=ey0-a
2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同,见教材P112.例3。第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。
3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线,因此当直线与双曲线有一个公共点时,其位置有两种情形:一是直线与双曲线相切,此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x(或y)的二次方程的判别式△=0;二是直线与双曲线相交,具体地说,也就是直线与双曲线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x(或y)的方程为一次方程。
直线与双曲线相交时,基本处理途径有二:一是列方程组;二是用点差法。不管是哪一种途径,都要强化设而不求的思想。
4、在 (a>0,b>0)中,若a=b,则双曲线为等轴双曲线,其离心率 。
5、 双曲线 与 称为共轭双曲线。
5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换;它们的焦点共圆;它们的离心率e1、e2满足 =1。
6、已知双曲线方程为 ,则其渐近线方程为 ;若已知渐近线方程为 ,则对应的双曲线方程为
双曲线的基本知识点:
1、位置关系:中心是两焦点,两顶点的中点:焦点在实轴上;实轴与虚轴垂直;双曲线有两条过中心的渐近线;准线与实轴垂直。
2、数量关系:实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c。两准线之间距离为﹔焦准距(焦参数)。
3、离心率:e>1,e越大,双曲线开口越阔。
扩展资料
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂,一个从每个分支,倾向于一个共同的线,称为这两个臂的渐近线。
所以有两个渐近线,其交点位于双曲线的对称中心,这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线{\displaystylef(x)=1/x}f(x)=1/x的情况下,渐近线是两个坐标轴。
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向。
当λ<0时,λa与a反方向。
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍。
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
双曲线的知识点总结如下:
1、双曲线的定义:一般的,双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。
2、双曲线的分支:双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时,为左支与右支;当焦点在y轴上时,为上支与下支。
3、双曲线的顶点:双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
4、双曲线的实轴:两顶点之间的线段称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为半实轴。
5、双曲线的渐近线:双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是:将标准方程的右边的常数改为0,即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
初中物理其实是一门很有意思的科目,初中物理课会让学生了解很多生活中所出现的物理现象,我整理了一些初中物理知识点,供大家参考。
初中物理知识点整理1、
热量的计算:Q吸=cm(t-t0) Q放=cm(t0-t)
水的比热容:c水=4.2×103J/(kg·℃),物理意义为:1kg的水温度升高(或降低)1℃,吸收(或放出)的热量为4.2×103J。因为水的比热容较大,所以水常用来调节气温、取暖、作冷却剂、散热等。
初中物理知识点整理2、内能的利用
热机是把内能转化为机械能的机器。
最常见的热机是内燃机,内燃机可分为汽油机和柴油机两种。
内燃机的工作过程:内燃机的每一个工作循环分为四个冲程:吸气冲程、压缩冲程、做功冲程、排气冲程。其中,吸气冲程、压缩冲程和排气冲程是依靠飞轮的惯性来完成的,而做功冲程是内燃机工作时唯一对外做功的冲程,是由内能转化为机械能。另外压缩冲程将机械能转化为内能。
初中物理知识点整理3、热值:1kg某种燃料完全燃烧放出的热量,叫做这种燃料的热值。单位:J/kg
公式:Q=mq(q为热值)。
热机的效率:热机用来做有用功的那部分能量和燃料完全燃烧放出的能量之比叫做热机的效率。
提高热机效率的途径:
(1)使燃料充分燃烧 ;
(2) 尽量减小各种热量损失;
(3)机器零件间保持良好的润滑、减小摩擦。
初中物理知识点整理4、电流和电路
自然界中只有两种电荷:正电荷和负电荷。
(1)被丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷;
(2)被毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷。
同种电荷互相排斥,异种电荷互相吸引。
双曲线的知识点主要包括标准方程、范围、焦点、离心率、切线方程、第二定义。
双曲线可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上,它们的中间点叫做中心,中心一般位于原点处。
重点:
取值范围:│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)。
对称性:关于坐标轴和原点对称,其中关于原点成中心对称。
顶点:
A(-a,0),A'(a,0)。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b),B'(0,b)。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0,-c),F2(c,0)或(0,c)。F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c。
对实轴、虚轴、焦点有:a2+b2=c2。
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