有声小说勾股定理
勾股是什么啊?
勾和股是直角三角形的两条直角边。勾股定理是关于直角三角形三条边长关系的定理,应用非常广泛,比如,有习题 已知条件给你直角三角形两条边长的条件,让你求第三条边的值,你可以列方程求解。
勾股定理还可以再推广为一般三角形的三边关系的定理,a^2=b^2+c^2-2bccosA.
勾股定理还可以再推广为一般三角形的三边关系的定理,a^2=b^2+c^2-2bccosA.
关于勾股定理的小故事
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们
图1 直角三角形
用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:
勾2+股2=弦2
亦即:
a2+b2=c2
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:
弦=(勾2+股2)(1/2)
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
图2 勾股圆方图
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示,我们
图1 直角三角形
用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:
勾2+股2=弦2
亦即:
a2+b2=c2
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实,我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理,应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”把这段话列成算式,即为:
弦=(勾2+股2)(1/2)
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子:
4×(ab/2)+(b-a)2=c2
化简后便可得:
a2+b2=c2
亦即:
c=(a2+b2)(1/2)
图2 勾股圆方图
勾股定理的故事
勾股定理趣事
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正 在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地 谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线。
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图)。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!?
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家)。
学过几何的人都知道勾股定理.它是几何中一个比较重要的定理,应用十分广泛.迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有400多种.其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话.
总统为什么会想到去证明勾股定理呢?难道他是数学家或数学爱好者?答案是否定的.事情的经过是这样的;
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正 在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地 谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正 俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线。
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理。
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图)。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!?
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解。这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家)。
关于勾股定理的小故事?无
勾股的发现
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线.
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理.
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图).七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解.这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家).
在1876年一个周末的傍晚,在美国首都华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使伽菲尔德循 声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干 什么?
只见那个小男孩头也不抬地说:“请问先生,如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢?”伽菲尔德答到:“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思索地回答到:“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又说道:“先生,你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞,无法解释了,心理很不是滋味.
于是伽菲尔德不再散步,立即回家,潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算,终于弄清楚了其中的道理,并给出了简洁的证明方法.
1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.
1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,
勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法.
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方;用勾股定理求圆周率.据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的.至今在建筑工地上,还在用它来放线,进行“归方”,即放“成直角”的线.
正因为这样,人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了.1955年希腊发行了一张邮票,图案是由三个棋盘排列而成.这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派,它的成立以及在文化上的贡献.邮票上的图案是对勾股定理的说明.希腊邮票上所示的证明方法,最初记载在欧几里得的《几何原本》里.
尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票,主题是世界上“十个最重要的数学公式”,其中之一便是勾股定理.
2002年的世界数学家大会在中国北京举行,这是21世纪数学家的第一次大聚会,这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案,可以说是充分表现了我国古代数学的成就,也充分弘扬了我国古代的数学文化,另外,我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权,这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定.
今天,世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图,它在国外被称为“唐图”(Tangram),意思是中国图(不是唐代发明的图).七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》,其中有正方形切割术,并由之证明了勾股定理.而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形,即弦图,还不是七巧板.现在的七巧板是经过一段历史演变过程的.
勾股趣事
甚至还有人提出过这样的建议:在地球上建造一个大型装置,以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命,最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形,可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上,因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理,所以用它来做标志最容易被外来者所识别!
有趣的是:除了三元二次方程x2 + y2 =z2(其中x、y、z都是未知数)有正整数解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn(n为已知正整数,且n>2)都不可能有正整数解.这一定理叫做费尔马大定理(费尔马是17世纪法国数学家).
数学中的勾股定理是怎么讲
勾股定理是一个基本的几何定穗做理皮弊,直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和猜握衡等于斜边(即“弦”)边长的平方。
勾股定理。。。
直角三角形古语:(勾三股四弦必五) AB+BC=AC (AB某直角边BC某直角边AC斜边)
勾股定理的故事
最早发现"勾三股四弦五"这一特殊关系的是古埃及人,这一事实可以追溯到公元前25世纪,中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理,而对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明,那要归功于古希腊的毕达哥拉斯。这个定理在中国又称为"商高定理",在外国称为"毕达哥拉斯定理"。
美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编消肆号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。
公元前十一世纪,我国周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为“勾股定理”,也有人称“商高定理”。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而西方人都习惯地称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为兆桥简股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特族裤例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
美国哥伦比亚大学图书馆内收藏着一块编消肆号为“普林顿322”的古巴比伦泥板,上面就记载了很多勾股数。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,也应用过勾股定理。
公元前十一世纪,我国周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为“勾股定理”,也有人称“商高定理”。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。因而西方人都习惯地称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为兆桥简股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特族裤例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
勾股数有哪些
勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
常见的特殊勾股数:3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8,15,17;9 12 15;7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 55 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 ; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 109 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116等等。
勾股数满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
常见的特殊勾股数:3 4 5;5 12 13; 6 8 10;8,15,17;9 12 15;7 24 25;9 40 41;10 24 26;11 60 61;12 16 20;12 35 37;13 84 85;14 48 50;15 20 25;15 36 39;15 112 113;16 30 34;16 63 65;18 24 30;18 80 82;20 21 29;20 48 52;20 99 101;21 28 35;21 72 75;22 120 122;24 32 40;24 45 51;24 70 74;25 60 65;27 36 45;28 45 53;30 40 50;30 72 78;32 60 68;33 44 55;33 56 65;35 84 91;36 48 60;36 77 85;39 52 65;39 80 89;40 42 58;40 75 85 ;40 96 104;42 56 70 ; 45 60 75 ; 48 55 73 ; 48 64 80 ; 48 90 102 ; 51 68 85 ;54 72 90 ; 56 90 106 ; 57 76 95 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ;60 91 109 ; 63 84 105 ; 65 72 97 ; 66 88 110 ; 69 92 115 ;72 96 120 ; 75 100 125 ; 80 84 116等等。
勾股数满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
关于勾股定理的故事
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
周公问:“我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3,另一条直角边‘股’等于4的时候,那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中,我们可以清楚地看到,我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何的读者都知道,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
定理
在平面上的一个直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达:
a²+b²=c²
勾股定理是余弦定理中的一个特例。勾股定理现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是一个基本的几何定理,在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理;三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a^+b^=c^ 。勾股定理现发现约有400种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组程a2 + b2 = c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。
向左转|向右转
热门问答
- 1“宫爆鸡丁”还是“宫保鸡丁”呢?
- 2《致我们单纯的小美好》有没有第二部
- 3武林外传剑系三职业怎么转,先转什么,再转什么,最后转什么
- 4火影忍者漫画596在火热动漫出了没?火影忍者596话中能不能击碎面具男的面具呢?
- 5收藏夹最近总是自动收藏网页
- 6醉西湖这篇短文是按什么顺序来写的
- 7求男主绝对冷静,步步为营的玄幻小说
- 8苗疆蛊事 这小说'''到底是真的还是编的啊?
- 9大神我想请问关于余世维博士的讲座是最早哪一年开始的?
- 10都市女性不结婚的越来越多,这是为什么?
- 11哈姆莱特为什么有意装作疯子
- 12一只竹篙叶吼嘿吼叫什么歌拜托各位大神
- 13怎样学好高中政治?
- 14在凤鸣轩给小说打分怎么弄啊
- 15求生之路2 我只有黑色嘉年华 我看过一个视频 也是求生之路2 但他开个人的时候 我看到有 依左 路易斯的地图
- 16吸血鬼骑士中绯樱闲的声优是谁
- 17乞巧中的今宵是甚么意思
- 18日剧《帅男偶像》好看吗?
- 19加里内维尔算不算一个伟大的球员?
- 20大脑银行有什么优势
- 21你是如何评价电视剧<我们无处安放的青春>的?
- 22coser是什么
- 23百家讲坛 红楼梦刘心武林黛玉为何而死
- 24长恨歌这首诗用了什么修辞手法?
- 25木兰当户织的户,赏赐百千强的强,双兔傍地走的走,雌兔眼迷离的迷离。 古今义是什么。
- 26西安奥数班哪里教的好?
- 27大家好,我是杨阳,请多多关照。用韩语怎么说要中文音译谢谢
- 28《我们去看海》诗文运用了什么的修辞手法,将什么和什么融为一体。
- 29销售工作在企业中的重要性 【急】
- 30热血传奇手游有几种方式获得赤月装备
相关搜索
热门搜索更多
- A
- B
- C
- D
- E
- F
- G
- H
- I
- J
- K
- L
- M
- N
- O
- P
- Q
- R
- S
- T
- U
- V
- W
- X
- Y
- Z
- 爱梅
- 哎呀姑妈
- 爱我的会永远爱我对么
- 爱是情愿
- 爱你成灾
- 爱的迷蒙
- 阿森纳调
- 爱到深处才知累
- 阿呆正传
- 爱神之泪
- 愛鍵
- 阿哥你快回来
- 阿爸的背篼
- 爱恨别离苦
- 埃莉娜
- 唉我随便就行了
- 爱你就像歌曲往上传
- 阿弥陀经原音
- 爱你若性命
- 爱情的夜
- 爱不完美
- 爱有几多重
- 爱就爱你的全部
- 爱上了是谁的错
- 爱过也好
- 爱情魔力派
- 安义人
- 爱情像秋天般辽阔
- 阿妹你要放心
- 敖包相会
- 北京1039交通广播在线收听
- 百闻不如一见什么造句
- 白云儿童歌曲
- 北京的诗词
- 泊船瓜洲的京口是哪里
- 不一样的卡梅拉在线听故事mp3
- 波西·杰克逊与最终之神
- 八个字名言名句
- 补衬衫领子
- 棒棒糖幼儿舞蹈歌曲
- 北京同济大学
- 表白场地布置
- 八月多少号立秋
- 巴啦啦小魔仙美雪美琪
- 冰笋的营养价值及功效
- 保险养老社区
- 别董大朗诵配乐
- 不掉色项链钛钢
- 白噪音 催眠
- beats音乐
- 不断提升自己的作文
- 别再犹豫国语韩剧全集免费观看
- 暴君闺女五岁半全文阅读小说
- 不想起床的句子
- 班级男女纯音乐大合唱
- 比得兔全集107集
- 表示感谢的英语短语
- 表扬朋友孩子优秀的句子
- 白敬亭会唱歌吗
- 表现久别重逢心情愉快的诗词
- 传统儿歌大全
- 厨房儿歌
- 吹气球中文儿歌
- 春天还有哪些宝贝儿歌
- 创编儿歌两首歌歌词大全
- 臭屎儿歌
- 陈奕迅唱了个儿歌叫什么
- 擦镜子儿歌反思
- 唱一个儿歌谢谢你
- 春天在哪里儿歌mp3免费
- 虫儿飞飞儿歌歌词
- 唱个儿歌星星是什么歌
- 春天的儿歌五十字
- 仓鼠网红儿歌
- 餐具洗涤儿歌
- 川渝儿歌编
- 唱一个小青蛙儿歌
- 虫儿飞是啥类型的儿歌
- 唱英语儿歌的小朋友
- 称赞草原儿歌的句子怎么写
- 常规的儿歌
- 纯音乐欢快儿歌早教完整版
- 春天儿歌动感
- 菜场里真热闹儿歌歌谱
- 春天欢快的儿歌有哪些
- 春天歌曲儿歌舞蹈
- 彩云台儿歌
- 曹文轩读读童谣和儿歌简介
- 常规儿歌展示黑板报
- 昌儿歌是在哪里找到的
- 冬季假期安全儿歌
- 端午节吃汤圆儿歌歌词
- 端午节景色童谣儿歌有哪些
- 大倩儿歌曲全集
- 抖音最火小男孩趣事儿歌
- 动漫狗狗儿歌大全歌曲播放
- 大风车巧巧手儿歌
- 端午安康儿歌曲谱
- 地面互动儿歌多多app
- 大拇哥二拇弟儿歌歌词
- 哆唻咪原创的儿歌
- 抖音上很火的家庭儿歌
- 大班语言讲儿歌要求
- 德清亲子互动儿歌律动音乐
- 大风车转右转儿歌
- 大嘴怪的儿歌
- 地球怎么哭泣了儿歌
- 对不起没关系启蒙儿歌
- 打招呼儿歌英文
- 打开贝瓦儿歌
- 带有辅音字母的节奏儿歌
- 冬天儿童保健儿歌
- 叮叮当铃儿响叮当儿歌琴谱
- 抖音让我们荡起双桨儿歌
- 大班整合课程恭喜恭喜儿歌
- 当前最流行的儿歌一首
- 动画片儿歌视大家喜欢我
- 多吉儿歌字母歌
- 大班体育游戏热身活动儿歌
- 丹麦儿歌歌曲
- 二三年英语中考
- 二高中考英语
- 鄂州英语中考2023
- 二零二一广东中考英语
- 额尔古纳中考英语卷子
- 哦英语中考词汇
- 二零二一黄冈中考英语
- 鄂州中考英语范文
- 二四届中考英语
- 恩施英语中考2022
- 二零一六菏泽中考英语
- exercising中考英语作文
- 恩施中考2017英语
- ee英语中考英语语法
- excuse中考英语
- 二诊英语中考
- 恩施2019英语中考
- 恩施中考英语2017
- 鄂州中考英语怎么学好英语
- 恩施英语中考阅读
- 儿子的英语中考
- 恩施2018英语中考
- 二零二零邵阳中考英语
- 儿子中考英语
- 恩施中考英语2018
- 恩施英语中考作文
- 恩施2021英语中考
- 鄂州中考英语难度
- 二零二零年英语中考
- 呃中考英语试卷
- 飞天大鼓小说
- 汾河湾方清平李增瑞相声
- 范天芳评书
- 傅南音梁有廷小说南有佳音
- 父子俩相声小品
- 阜新二人转徐畅
- 复古舞评书
- 封神演义评书十绝阵诗句
- 饭店互动快板
- 冯永勤说书点将名
- 辅导员快板词
- 风吹麦浪相声
- 风华清音广播剧社团
- 范军爆笑相声
- 风水有术听评书
- 飞泉泻城山水清音
- 房产置业顾问相关的相声
- 风岚清音
- 福建潮汕大鼓
- 福清音埔征迁
- 凤台清音by
- 讽刺不会说话的相声
- 封神演义评书53
- 福建南音乐器探究
- 封神演义评书145回
- 凡登说书
- 仿铜大鼓
- 饭店周年庆的相声
- 方天翼林清音小说主角
- 封神榜老版全集鼓词
- 广东中考英语连词训练
- 甘肃中考英语试卷讲解
- 广东英语中考分析
- 广西贵港卷中考英语
- 感恩父亲英语中考范文
- 广东中考阅读训练英语
- 广州中考口语英语学习
- 广西中考英语卷子2022
- 广东肇庆中学中考英语
- 过去的明天中考英语
- 广州中考英语2022试卷
- 广州英语中考评分
- 广州中考英语易错
- 广东英语中考听力原文
- 广东零障碍中考英语
- 贵州中考英语预测作文
- 桂林中考2021英语
- 广西英语中考复习知识
- 贵州初中中考英语方法
- 广州英语中考阅读分析
- 高频英语单词 中考
- 广西中考英语试卷作文
- 贵阳英语中考一模
- 高中考试英语模板
- 广州英语中考语法时间
- 贵阳中考英语复习策略
- 鼓励中考妹妹作文英语
- 贵阳英语中考单词量
- 广安2016英语卷子中考
- 广州中考英语试卷2018
- 皇后是朕的黑月光相似的小说
- 哈喽鬼小姐
- 火狸的全部小说
- 浑沌无极柳雪柔分享盘
- hp黑魔王的后裔小说
- 海贼王关于眼睛的小说
- 和妖界游记很像的小说
- 花痴少女小说
- hc战神与创世神之恋小说评论榜
- 黑烟小说网
- 话事人全集免费下载
- 火影之波风轩辕小说
- 霍比特人小说英文版
- 幻术的玄幻小说
- 好看的暖文小说贴吧
- 红楼之仁心
- 黄明昊原创女主小说
- 好听的两字小说男主名字
- 荒岛女孩野狗小说
- 韩志晨小说
- 婚变狂人小说网
- 合意楚寒衣青下载
- 海明威短篇小说集
- 好看的英雄联盟小说排行
- 红楼之禛心传玉
- 黑龙吃人脑小说
- 好看的都市小说完本下载
- 寒潮荒岛矩阵小说
- 和父亲有关的小说
- 红楼夜话番外37
- 教大家打快板的手法
- 京剧快板尚
- 经典相声mtv
- 极品五星大鼓
- 江琨相声演员
- 讲相声和说相声的区别
- 经典老相声评书大唐游侠传
- 讲相声的讲师
- 京剧相声咋都讲传承呢
- 讲三皇五帝的评书
- 济公传最新评书
- 吉林二人转姚军
- 劫富贵相声
- 津门三少爷中乞丐唱的快板
- 经典相声催眠
- 金嗓利咽丸同清音丸的区分
- 经典诵读带快板
- 京东大鼓大杂烩歌词大全
- 经典相声盗墓
- 济宁电台评书大明那些事
- 京味相声小品
- 京剧快板连唱
- 江曼音靳南辞
- 纠结哥说相声
- 给我介绍继续播放评书
- 角色互换相声
- 晋西北铁三角相声大全
- 贾玲最瘦的相声
- 姜昆刚说完相声界后继无人
- 金霏陈曦相声返场穷开心
- 酷狗唱唱下栽
- 考研英语和四六级的区别
- 看什么电视剧
- 看图讲故事父与子
- 昆虫记昆虫的特点归纳
- 客厅风水
- 考驾照多少钱
- 恐龙 小猪佩奇
- kakaotalk来电铃声
- 口才教育
- 空腹血糖在61左右
- 康定情歌景区游玩攻略
- 夸赞教师的诗词
- 铠甲勇士第一部铠甲勇士
- 科幻 片
- 开局退婚十个未婚妻小说无弹窗
- 看完这本书你就能戒烟
- 康熙玉如意
- 恐龙恐龙恐龙恐龙恐龙的
- 克苏鲁降临
- 恐龙世界攻略
- 空灵鼓一声佛号一声心
- 快乐小猪儿歌舞蹈视频
- 咳嗽小儿推拿手法
- 狂飙的真实事件原型
- 可爱的毛毛虫
- 开封交通广播
- 凯旋城二手房
- 克雷洛夫的作品
- 昆明考摩托车驾照
- 罗江相声
- 六年级上册音乐书西南师版
- 绿色生态理念快板词
- 临县冯永勤说书包公案
- 梁巘评书帖翻译
- 卢鑫玉浩相声大全小沈龙
- 两人相声我要唱歌
- 栾云平和四哥的相声
- 刘兰芳评书樊梨花全集播音
- 莱芜区渔鼓
- 李平二人转红柳子
- 乐亭大鼓清平歌词
- 罗列相声大全
- 朗鹤岩相声我为歌狂
- 刘兰芳评书红楼梦85集
- 乐亭大鼓唱词和韵辙
- 论二人转舞蹈艺术的雅化
- 李诞郭德纲相声合集
- 林劲说书战国纵横
- 刘兰芳评书五虎演义第一回
- 李小璐发小相声演员
- 李伯清散打评书醉酒全集
- 利辛县清音戏三上轿
- 六十六头牛绕口令快板
- 李亮郭德纲相声完整版
- 李莲英琴书
- 兰州体育老师说相声帅哥
- 刘兰芳评书岳飞传128集
- 梁宏体育评书
- 老纪竟说起了相声
- 莫言生死疲劳书评
- 谋略家
- 民间故事的成语
- 猫叫声英语
- 猫和老鼠陕西话全集
- 免费下载头像大全
- 梅花五言绝句
- 猫咪电影网站
- 免费读英语的软件小学
- 描写高兴心情的句子
- 免费阅读天王殿
- 莫尼山简谱
- 木叶之影流 红叶知玄
- 每天销售金句
- 谜语大全儿童简单
- 孟姜女哭长城感受
- 慢三舞曲纯音乐
- 梦入洪荒平步青云
- 美语自然拼读
- 马兰和余秋雨离婚
- 名人爱情故事全集
- 民间黄大仙故事全集
- 茅山道长
- 免费音乐收听车载劲爆dj电音舞曲
- 魔装学园轻小说
- 米小圈上学记米
- 免费电影一级片
- 妈妈的朋友9在线播放
- 免费播放在线
- 迷雾剧场
- 牛津版英语四年级上册课文第7课
- 牛津英语7年级知识点总结
- 牛津版英语六年级下u5课文
- 哪些适合初级听力
- 宁夏教育频道少儿英语
- 鸟儿听力
- 女神节幼儿英语怎么说
- 牛津英语6年级上册语法点
- 宁国市少儿英语
- 泥泞拼音启蒙英语
- 诺诺妈英语启蒙
- 暖场少儿英语儿歌
- 嗯苏教版初中英语量
- 哪种英语软件适合幼儿园
- 妞妞英语启蒙之旅
- 牛津英语7年级上册评task课
- 诺贝英语启蒙
- 宁波英语启蒙排名
- NASA中文启蒙英语
- 牛津幼儿英语4aunit4
- 宁波英语启蒙推荐
- 南瓜英语儿歌早教顺口溜
- 内江早教英语口语怎么学好
- 娜娜英语启蒙Tina
- 牛津树幼儿英语儿歌
- 南充少儿英语阅读馆
- 牛娃 英语启蒙
- 哪个mba英语考试辅导好
- 南航托业听力
- notetaking听力
- 欧弟相声大全
- 欧布奥特曼起源
- oneone
- 欧巴相声全集完整版
- 偶遇相声男神秦霄贤
- 欧弟相声节目
- 欧布奥特曼中文版全集
- 欧美绘本
- 欧美绘本故事
- 欧米伽3老年评书机
- 欧洲金属吉他清音
- 欧阳隆基跨界相声演员
- ob相声团升级
- 欧木琴的琴书
- 偶练相声
- 欧豪和刘昊然的相声
- 偶尔穿插相声了
- 欧文说书
- 欧冠联赛上演阿根廷二人转
- 欧阳奋强相声
- 欧米伽参评书如何用机
- 欧弟丫蛋二人转
- 欧十郎琴书
- 欧派公司年会相声
- 欧北说书
- 偶像天团相声完整版
- ohknow
- 偶遇大爷唱起了快板
- 欧布奥特曼国语
- oppo快板概念
- 评判高考英语的方法
- 陪女朋友高考英语
- 普通高考英语怎么读
- 拼搏高考的英语作文
- 普通高考英语口试唐山
- 平阴高考英语听力
- 批改高考英语试卷作文
- 拼音复习技巧英语高考
- 辟谣高考英语50分
- 浦东新区高考英语
- 平常高考英语难吗
- 普陀高考二模英语
- 平阳备战高考英语辅导
- 普洱高考英语升学指导
- 碰瓷作文高考英语
- 陪伴英语听力高考
- 披头士高考英语
- 普通高考生英语口试
- 盘龙区高考英语口语
- 抛弃英语作文模板高考
- 平定中学2019高考英语
- 普通高考英语有听力
- 苹果14高考英语学习
- pass英语高考作文
- 平时英语70高考多少
- 普通人高考英语
- 盘锦高考英语满分多少
- 朋友高考失利安慰英语
- 烹饪小技巧英语高考
- 派生词英语高考
- 泉州南音元宵十五评价
- 琴书罗元下山04
- 群囗快板
- 清音丸的疗效与作用
- 祁东渔鼓骂夫妻
- 圈子周炜相声
- 琴书九侠戏罗中15
- 清音丸几天为一疗程
- 清音广场舞天生一对好鸳鸳
- 曲艺节目之群口快板
- 泉州南音一肚悲计
- 拳打镇关西大鼓书
- 清音动物园
- 秦霄贤相声歌曲
- 琴书牡丹花
- 秦霄贤刘筱亭买鞋相声
- 清音笛丸
- 泉州南音有趣之处
- 前宝嫩故事
- 青州清音
- 琴书王天宝下苏州13集
- 泉州元宵佳节南音比赛
- 清明品茗苏州评弹
- 请搜索温州鼓词白呤霜
- 秦霄贤梅九亮黄鹤楼相声
- 劝酒驾快板表演
- 全球特种武器TOP精选
- 泉州南音哥嫂
- 秦始皇说书全集
- 企鹅课标经典阅读
- 让一个人开心的句子
- 日语n1是什么水平
- 儒家思想汉朝
- 日程的英语
- 人生沸鼎
- 如何有趣的打招呼聊天
- 人世间电视剧全集在线观看
- 人际交往的八个技巧
- 如何正确教育孩子
- 人活着 为了什么
- 如懿传全87集完整版
- 日本女女
- 人教版英语二年级
- 人民的名义第15集
- 人生得意须尽欢得意
- 人生最好的境界是丰富的安静
- 人间四月天原著
- 任之堂主人余浩老师的成长历程
- 人性可怕
- 认识几何体儿歌歌词完整版
- 若思文学小说
- 如何腌制紫苏
- 人生若只如初见免费观看
- 让我们荡起双桨原唱视频完整版
- 人工智能算力
- 如何下载音乐到u盘
- 如何了解自己是什么样的人
- 人间值得中村恒子免费阅读
- r的英文发音
- 人性影片
- 上网的利与弊初二作文英语
- 蔬菜儿歌大全
- 生日快乐儿童经典儿歌大全
- 数学5以内减法儿歌
- 尚雯婕英语儿歌钢琴谱简单
- 神舟5号英语作文初二
- 适合孩子的儿歌歌词大全
- 撒娇的小蚂蚁儿歌
- 睡眠很重要初一英语作文
- 顺序自动播放儿歌
- 水果歌儿歌歌词
- 少儿歌曲噢苏珊娜中文
- 声音大的女儿歌曲简谱
- 世界森林日幼儿园大班儿歌
- 使用的英文儿歌怎么读啊
- 三分之一的同事唱儿歌
- 少儿围棋逃跑儿歌大全
- 手指谣创编儿歌
- 手抄报廉洁儿歌内容怎么写
- 三只小猪走迷宫儿歌
- 少儿歌手大赛文案范文
- 适合二岁宝宝听的外文儿歌
- 三分钟的儿歌钢琴曲
- 省编教材夏天到儿歌
- 适合结束活动的儿歌
- 深圳初一英语上册期中测试
- 抒情性儿歌
- 守则的顺口溜或儿歌
- 适合低年级儿歌
- 适合英文儿歌的歌曲
- 逃离理想乌托邦演讲稿
- 天津演讲培训品牌加盟
- 谈文明出行演讲稿
- 陶行陶校长的演讲
- 团结协作演讲
- 蜕变源自困难演讲稿
- 唐艺昕演讲
- 拓展活动演讲稿
- 脱稿演讲杨冰
- 抬高与贬低演讲稿
- 提醒演讲不要太久
- 陶校长的演讲课后反思
- 泰安学生演讲
- 托马斯特拉法斯的演讲
- 团委书记团日演讲
- 团结班委演讲稿
- 提高演讲能力的14种练习
- 泰国SDG演讲英文
- 听英语演讲的感受作文
- 泰迪熊伴我成长演讲稿
- ted中文演讲精华
- 团队视频演讲视频
- 挑战高目标演讲
- 投稿到论坛需要演讲
- 汤宏炜演讲视频
- 逃离倦怠主题演讲稿英语
- 田欣蕊演讲
- 团结同学方面怎么演讲
- 特战队新兵报到演讲
- 通报案例演讲稿
- 舞蹈课对小学生有用吗英语
- 网红小学生用英语怎么说
- 五年级小学生短篇英语作文
- 为什么外国小学生说英语好
- 五年级小学生怎么上学英语
- 外国人和小学生谈英语作文
- 外国小学生学英语口语吗
- 五年级小学生英语诗歌
- 威海中小学生学英语
- 为什么要学小学生英语翻译
- 外国小学生作业英语怎么说
- 外国小学生学的英语歌
- 五年级小学生自学英语软件
- 未来的三个小学生作文英语
- 五年级小学生阅读英语短篇
- 外国人可以教小学生吗英语
- 武汉小学生考英语四级要求
- 完整版小学生的一天英语
- 外国人练小学生英语口语
- 五年级小学生对话英语作文
- 外国小学生学的英语歌曲
- 五年级小学生英语短语大全
- 网红机器人小学生作文英语
- 王老师带六名小学生英语
- 五名小学生用英语怎么说
- 五年级小学生学英语
- 无锡市小学生英语单词音频
- 完整版的小学生英语翻译
- 网购省钱关键词小学生英语
- 无锡市小学生英语单词大全
- 相声段子简单一点的
- 弦上有清音
- 相声音乐大全
- 相声评书推荐
- 校园短篇相声稿
- 相声单口2分钟
- 小宝说评书
- 相声小哥俩打架
- 雄安新区快板
- 小陶阳和郭德纲相声完整版
- 相声界赵小林是谁的徒弟
- 校园相声快乐节日
- 小学生相声关于用电安全的
- 血染钟楼说书人
- 相声界名演员的拜师经过
- 相声男星离婚
- 相声外行的意思
- 相声返场条件
- 相声岳云鹏做手术
- 相声贵公子免费阅读
- 相声演员常佩业儿子
- 相声小品小曲大全
- 相声演员大兵开豪车被刮蹭
- 相声圈变了
- 相声新势力女艺人被开
- 相声欢迎观众的定场诗
- 相声刘占军刘学义
- 小学四年级两分钟相声表演
- 相声学杂唱
- 相声好学生与坏学生ci