哥德尔不完全性定理的意义_科学探索_免费在线阅读收听下载

嗨，各位听众朋友大家好，我是主播欧锋，现在为大家介绍哥德尔不完全性定理的意义。

哥德尔关于不完全性定理的文章，犹如一块巨石，投入逻辑学的海洋，很快激起了阵阵波浪。在接着的几年中，出现了一系列与不完全性定理有着直接关联的文章和专著。这些论著考察了更为复杂的不可判定公式。除前面提到的 1936年罗塞尔工作外，主要还有：1939年希尔伯特和贝尔奈斯在他们的《几何基础》中，艰苦地完成了对两个算术系统乙和乙的详细证明。1934 年，哥德尔在普林斯顿所作的关于不完全性定理的讲座，就以更为简洁的方式给出了1931年文章中的最重要成果。当时，他还对豪伯于1931年提到的一般递归函数给出了完全精确的形式。后来，英国逻辑学家图灵于1937年给出了完全一般的形式系统的概念；波兰逻辑学家塔斯基对不可判定的一般理论作了展开。哥德尔的文章给了能引可判定性问题以强有力的推动。当前，国际上已将哥德尔不完全性定理，塔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。三大成果是万千人们撼人心灵智力奋斗的结品，三大成果是逻辑科学向形式科学长期演化、高度发展的产物，三大成果也是现代逻辑科学蓬勃发展的新起点，推动力。下面就不完全性定理在逻辑学、哲学、人工智能、数学方面的影响，谈些看法。

哥德尔不完全性定理既显示了形式化的巨大功能，同时也显现了形式化的局限性。前面陈述的定理证明是按严格的形式化的方式进行的，因此，可以断言没有形式化的高度发展，就不会有哥德尔定理。哥德尔第一定理确立了不可判定命题，哪怕是我们思想中最稳定的毫不含糊的自然数也不例外，我们不能用一个形式系统对它进行完全的刻划和把握。哥德尔第二定理，直接破灭了希尔伯特证明数学无矛盾性的目标。当然这并非要完全抹杀希尔伯特创造证明论的历史功绩。正如著名逻辑家塔斯基所述：“称希尔伯特为元数学之父，他是当之无忱的，他创建了作为独立学科的元数学；他为它的存在而奋斗，以一个伟大数学家的威信全力地支持它；他策划出它的前进途径并寄托以重任。诚然婴儿未能实现慈父的全部希望，并未成长为一神童。但是它健康地成长了，已经成为数学大家庭的成员。”可见，我们确实应该有这样认识，尽管公理化形式化的在逻辑学、数学以及自然科学的发展中起了巨大的推动作用，但它是有局限的，绝对的强调形式和直觉的某个方面，都可能引向认识的歧途。

……形式和直觉的关系，实际上是逻辑和直觉之间的关系，是形式的理性思维和直觉的认识能力的之间的关系，形式和直觉是既有区别又有联系的，既是对立的，又是在认识的实践活动中得到统一的。

……

哥德尔年轻时就能一举完成完备性定理和不完全性定理的证明，充分显示了他一身兼具优异的形式思维能力和杰出的直觉认识能力，并且对它们能作有机的综合运用，从而能看清公式在直觉上真和形式上可证之间密切的、相互可以作等价转换的关系以及实现转化的条件，真和可证之闻的相互转化，要看相对于什么系统而言。相对于有些系统（例如一阶谓词演算），直觉上的真（逻辑真）公式，在系统中确实可证；相对于另外一些系统（例如一阶算术系统），直觉上的真（解释真）公式，在系统中却并不都可证明。前者是完备性定理的内容，后者是不完全性定理的内容。

……哥德尔这方面的才能在实施不完全性定理的证明中表现的尤为突出，我们知道不完全性定理的证明需要使用许多重要的新颖的基础概念，不完全性定理的证明也需要精细而又繁复的推导，哥德尔就是这样把自然语言的表达形式的表达，数字的表达融为一体，对他们做综合的分析认证后才得到他的结果的。

以上描述可以用新重难三个字加以概括，新指的是观念新，思想新方法新，整个定理的含义本身就是崭新的，证明中用到了许多全新的概念和方法，重指的是证明了篇幅冗长，步骤繁多，后人叙述。该定理的证明即使带有三节也往往需要数万年，难指的就是证明中转换曲折多，既要考察单个概念纵向的脉络，又要考繁多种观念的横向联系。既要区分直觉的模型、形式系统和数字表达的区别，更要把握它们之间的联系、转换条件，溶多种原料于一炉，经过把握火候的冶炼，才能获得纯钢。新、重、难表现了哥德尔非凡的数学才能，特别是数学直觉能力。这种对数学真理的直接洞察能力，使哥德尔对成功抱有坚定的信心。没有这种直觉上对定理的真理性的坚信，在茫茫迷途上，敢于不辞辛劳地作这样的长途跋涉，最后坚持攀登上科学的顶峰是很难想象的。哥德尔晚年回顾年轻时代获得两项重要成果的经历时曾说：应该注意，我在数学的形式系统中构造不可判定数论命题的直接试探原理，是与“可证性＇相对立的“客观的数学真理”的高度超限的概念。”这里所说的直接试探原理和高度超限概念。我感到实际上就是哥德尔心目中的数学直觉。哥德尔对此是十分看重的，认为这对他在逻辑学方面的成功是基本的。
哥德尔确实是既重视形式的逻辑思维，也重视直觉的超限思维，并且能以实事求是的态度对待双方，既看到它们的区别和对立，更强调它们的联系和转化，正是这种朴素的辩证思想，促使他攀上了科学的高峰。

今天是2020年4月21日，我是主播欧锋，我现在在湖南省株洲市攸县为你介绍和朗读，谢谢你的聆听！

哥德尔不完全性定理的意义

哥德尔不完全性定理的意义

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