第二十二章：新科学家——库尔特·哥德尔：“哥德尔定理”提出者
作为捷克著名的数学家和逻辑学家，哥德尔（Gödel's）提出的理论不仅在这两大领域，也在哲学界引起了重大反响。尽管他对数学的发展贡献颇丰，尤其是上世纪30年代的数学，但其最著名的还是现在为人们所知的“哥德尔定理”（Gödel's Theorem）。
“哥德尔定理”其实是两大相关的不完备性定理（theorems of incompleteness）。第一条定理声明，在任何一种内部一致（即无矛盾）的形式体系（数学或逻辑体系）中，必定有某种结构完整的命题是无法证实或证伪的，或换句话说，即从形式上无法判定。事实上，哥德尔表明，这种命题就等同于“说谎者悖论”（liar paradox）中“本句话无可证明”之类的命题，若真，则该句话为假；若假，则该句话为真。第二条定理则揭示了，人无法在某系统内部证明该系统是内部一致的。
这两大定理的结果产生了巨大的影响。首先，在数学上，它有效地终结了“形式主义”计划——由数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）从康德的形而上学引发而来——该计划试图证明，古典数学的任务并不是要描述独立真实而抽象的实体领域（即“数”），而是要从感知经验中构建出一个符号体系。“形式主义”计划的关键在于要能解释无穷量，这不属于经验领域，而与数学密不可分。希尔伯特于是想出了一种理论，将无穷量作为具备有用价值的假说。由于希尔伯特需要一种方法能将有效假说从无效假说中区别出来并加以合理化，因此他便将一致性作为了假说采用的前提条件。换句话说，任何有用假说都不会导致整个体系的矛盾。而哥德尔的研究揭示了，一致性的问题永远也无法得到证明，从而打破了希尔伯特的计划。
在哲学上，哥德尔的研究被视为重申了柏拉图主义，且最近成为证明人工智能（Artificial Intelligence）不可能实现的证据。哲学和数学中的柏拉图主义指的就是源自柏拉图的观念，即抽象事物独立存在于一个“第三领域”（third realm）——它们既不是心理的也不是物理的存在，而处于一个由数学、逻辑学和几何学描述的不同的、永恒的世界，偶尔通过理智而闪现。哥德尔本人就是柏拉图主义的坚定支持者。那么很显然，哥德尔“本句话无可证明”的论断在有限体系内便是真的。它是真的，只不过在系统内无法证明，正是这一点奠定了“哥德尔定理”的基础。因此，按照哥德尔以及最近著名物理学家和数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）的观点，人类心灵能实现任何形式的，或机械的程序都无法获得的真理。据彭罗斯等人，这便打破了人工智能计划的希望，因为所有的机器，不管多复杂，都是有限的形式体系。
这一论断明显错误的地方在于，正如艾伦·图灵（Alan Turing）——首批发现该问题的人之一——所指出，尽管任何使用形式语言的机器确实能力有限，但该论断毫无根据地假定了人类理智没有同样的局限性。也许正是因为这一原因才导致哥德尔的作品未能阻止人工智能的研究浪潮，也未能推动柏拉图主义在数学以外的领域得以复兴。不过，在数学内，柏拉图主义仍具有正统地位。鉴于数学对科学的核心地位，柏拉图主义肯定会在我们的哲学反思中产生影响。我们似乎不得不把柏拉图主义从数学中推翻，或是如哥德尔、彭罗斯等人提出的那样，容许柏拉图主义在我们对现实本质的一般性理解中占据一点地位。
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