阿基里斯追乌龟的故事中怎样用数学公式解决这个问题？

阿基里斯追乌龟的故事，相信很多朋友听过，如果您没听过没关系，我再简单介绍下这个数学难题。其实就是讲有一个人叫阿基里斯，他是一个跑步冠军，跑的特别快。然后有一天阿基里斯和乌龟来了一场赛跑，如果是公平竞争，显然乌龟不是阿基里斯的对手，所以比赛是建立在一个不太公平的基础之上。那就是比赛之前，把乌龟放到阿基里斯前面200米的位置。这样一来相当于比赛一开始，乌龟就已经领先阿基里斯200米了，现在问：在乌龟已经领先阿基里斯200米的前提下，阿基里斯最后能否追上乌龟？

也许你听了这个提问会觉得好奇，这不废话嘛，阿基里斯只要速度比乌龟快，迟早会追上乌龟并超过乌龟的，这通过常识就能判断出来。但是有一个人就偏偏要抬杠，这个人说阿基里斯就是追不上乌龟。也许你会嘲笑这个人，觉得他真的太傻了。但是这个人说追不上乌龟给出的理由，你会觉得无从反驳。这个人理由是啥呢？

这个人说认为阿基里斯追不上乌龟原因如下：乌龟一开始领先200米，假设过了一会儿，阿基里斯就跑到了乌龟200米的地方，但是这过程肯定花费了时间的，别管这个时间有多短，肯定是花费了时间，所以这个时间乌龟也没闲着，乌龟肯定又往前移动了点距离了。所以阿基里斯虽然走到了乌龟一开始的200米处，但是乌龟又往前移动到了某处，我们假设这个地方叫B。

接下来阿基里斯又要继续追赶乌龟，假设阿基里斯也到B处了，但是这个过程乌龟也没闲着，乌龟又会往前走一段距离达到了C处，别管这个距离有多短，总是有一定距离的。所以阿基里斯又需要继续追乌龟。这个过程会一直周而复始的循环，所以得出结论：阿基里斯永远追不上乌龟。

大家发现没，这个人虽然很傻，但是这个分析过程，咋看之下你居然无从反驳，因为阿基里斯的速度虽然快，但是每次阿基里斯追到乌龟领先处，乌龟又会往前走一段距离，只要阿基里斯每次走到乌龟的下一个领先处花费的时间不为0，乌龟就每次都有机会继续领先。所以追不上乌龟这个结论似乎名正言顺了。

我们通过常识也应该知道，只要阿基里斯速度比乌龟快，最后肯定会追上乌龟。但是刚刚的分析感觉也没错，那么问题到底出在哪里？其实问题出在一个直觉和想当然。我首先问大家一个问题：如果有无限个正数加起来，最后的总和是否一定是无穷大？换一个问法：S=A1+A2+A3+A4+......后面无限个正数加起来，请问S是否一定是无穷大？相信不少朋友会认为：肯定是无限大啊，因为每个项都是正数，无数个正数加起来肯定就是无穷大了啊？

但是我要说的是，无限个正数加起来未必是无穷大，很可能会小于某一个正数，为什么会这样呢？因为S虽然的确由无限个正数加起来，但是如果每一项正数符合一定的规律，最后加起来肯定会小于某个数的。举个例子，如果S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+......，请问S是无穷大吗？其实稍微懂点级数概念的人就知道，这个级数是收敛的不是发散的，这意味着S肯定会小于某一个值。

那么我们再回到刚刚的场景，假设阿基里斯速度恰好是乌龟两倍，假设阿基里斯第一次追到乌龟初始位置时花费了1秒，由于接下来阿基里斯继续追到乌龟下一个位置花费的时间就是1/2秒，然后再追到乌龟下一个位置就是1/4秒，一直追下去，最后我们把追上乌龟花费的时间加起来正好就是：S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+......，而S我们已经知道不等于无穷大，所以阿基里斯在有限时间内肯定能追上乌龟的。