韩信点兵主要说明了怎样的一个数学道理?
3个回答
韩信点兵是一个有趣的游戏,如果你随便拿一把棋子(数目在100粒左右),先3粒3粒数,不满3粒的记下余数;再5粒5粒数,不满5粒的记下余数;最后7粒7粒地数,也把余数记下来。然后根据每次的余数,就可以知道你原来拿的棋子总共有多少。
如:3个一数余1粒,5个一数余2粒,7个一数余2粒,那么原有棋子是多少呢?
它的算法很简单,而且在我国古代就有。宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔墙算”;杨辉叫它“剪管术”;而“韩信点兵”是较通行的名称。至于它的算法,在《孙子算经》上早有说明,后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广,又发现了一种算法,叫“大衍一术”。这就是外国人所称的“中国剩余定理”,是数学史上极有名的问题。
那么到底怎样来计算呢?
A×70+b×21+c×15-105
其中a、b、c分别为3个、5个、7个一数的余数。如果得出数还是比105大,就再减去105,一直到得数比105小为止。
因此你可以很容易地知道,前面问题的答案了
1×70+2×21+2×15-105=37(粒)。
那么“韩信点兵”里为什么要3个一数,5个一数,7个一数呢?周其它的数可以吗?我们先研究一下“韩信点兵”的解法“70a+21b+15c-105”。
我们先来看一下70、21、15、105这4个数和3、5、7之间的关系:
(1)70=2×5×7,70=3×23+1,所以70是5和7的一个公倍数,它被3除后余数是1.
(2)同理,21是3与7的一个公倍数,它被5除后余数是1.
(3)15是3与5的一个公倍数,它被7除后余数是1.
(4)105=3×5×7,是3、5、7的最小公倍数。
根据上面的这些关系,“70a+21b+15c-105”确实是所求的得数。所以,70a+21b+15c-105被3除的余数是1。据同样的道理,这个数被5除后的余数是2,被7除后余数是2.
那么,“韩信点兵”里为什么要用3、5、7这三个数呢?我们知道,3、5、7中任意两个数的最大公约数都是1,也就是说是两两互素。于是就可以找到这样一个数,是3、5、7其中两个数的公倍数,而被另一个数除后余数是1,类似70、21、15。这也就是“韩信点兵”中的三个数的要求。
那么不是两两互素的数,是不是就一定找不到类似70、21、15的数呢?如4、6、7这三个数,4与6不是互素,它们的最大公约数是2,而6与7的任何一个公倍数都是偶数,被偶数4除后的余数也一定是偶数,而不可能是1,所以是找到与70、21、15相当的三个数的。因此在“韩信点兵”里就不能用。
我们也可以不用3、5、7这三个数,而换成其它两两互素的数,如2、3、11.这时的计算式是“33a+22b+12c-66”。不信的话,你可以用上文中的例子试一试,看是不是37粒。
如:3个一数余1粒,5个一数余2粒,7个一数余2粒,那么原有棋子是多少呢?
它的算法很简单,而且在我国古代就有。宋朝周密叫它“鬼谷算”或“隔墙算”;杨辉叫它“剪管术”;而“韩信点兵”是较通行的名称。至于它的算法,在《孙子算经》上早有说明,后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广,又发现了一种算法,叫“大衍一术”。这就是外国人所称的“中国剩余定理”,是数学史上极有名的问题。
那么到底怎样来计算呢?
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因此你可以很容易地知道,前面问题的答案了
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(2)同理,21是3与7的一个公倍数,它被5除后余数是1.
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根据上面的这些关系,“70a+21b+15c-105”确实是所求的得数。所以,70a+21b+15c-105被3除的余数是1。据同样的道理,这个数被5除后的余数是2,被7除后余数是2.
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那么不是两两互素的数,是不是就一定找不到类似70、21、15的数呢?如4、6、7这三个数,4与6不是互素,它们的最大公约数是2,而6与7的任何一个公倍数都是偶数,被偶数4除后的余数也一定是偶数,而不可能是1,所以是找到与70、21、15相当的三个数的。因此在“韩信点兵”里就不能用。
我们也可以不用3、5、7这三个数,而换成其它两两互素的数,如2、3、11.这时的计算式是“33a+22b+12c-66”。不信的话,你可以用上文中的例子试一试,看是不是37粒。
中国剩余定理
中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 我国汉代有一位大将,名叫韩信。他每次集合部队,都要求部下报三次数,第一次按1~3报数,第二次按1~5报数,第三次按1~7报数,每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几,这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法,人们称为“鬼谷算”、 “隔墙算”、“秦王暗点兵”等。到了明代,数学家程大位把这个问题的算法编成了四句歌诀:
三人同行七十稀,
五树梅花廿一枝,
七子团圆正半月,
除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法,它的意思是:凡是用3个一数剩下的余数,将它用70去乘(因为70是5与7的倍数,而又是以3去除余1的数);5个一数剩下的余数,将它用21去乘(因为21是3与7的倍数,又是以5去除余1的数);7个一数剩下的余数,将它用15去乘(因为15是3与5的倍数,又是以7去除余 1的数),将这些数加起来,若超过105,就减掉105,如果剩下来的数目还是比105大,就再减去105,直到得数比105小为止。这样,所得的数就是原来的数了。
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