下列成语与现阶段倡导的敬业奉献精神关系最紧密的是（  ）。

C

解析：

本题考查政治常识。

A项错误，“己所不欲，勿施于人”意思是自己不愿意的事不要强加在别人身上，与敬业精神无关。

B项错误，“天下兴亡，匹夫有责”意思是天下的兴盛与衰亡，每一个普通老百姓都有责任，体现的是爱国精神。

C项正确，“鞠躬尽瘁，死而后已”意思是勤勤恳恳，尽心竭力，贡献出自己的全部力量，多形容一个人敬业奉献的精神。

D项错误，“一言既出，驷马难追”意思是话说出口就不能再收回，体现的是诚实守信。

故正确答案为C。