数学 钟表

这个是当年爱因斯坦生病在医院时

一个朋友摩西科夫斯基看望他时 给他出的

我记得结果应该是143吧



记得以前做过这题

设一个表有60个刻度

设满足对调仍然成立的时间是x点y分

那么分针的位置 就是在离12点有y个刻度的位置

同理设时针的位置 是在离12点有z个刻度的位置

(注意 这个z不是x 也就是说

在5点到6点之间 时针的刻度并不是5 而是5-6之间的一个值

这个值的取法 在下面 通过分针走过的刻度和两针速度比来求)

我们知道 分针的速度 是时针的12倍

我们知道 从12点起

分针运转了60x+y个刻度

那么时针就运行了z=(60x+y)/12 个刻度



对调之后 分针 就变成了时针的位置

设这个时候的时间为m点z分

那么同前一个时间

时针距离12点有(60m+z)/12个刻度

而这个刻度 恰好就是前一个时间的分针位置

也就是y=(60m+z)/12

这样就有方程组

z=(60x+y)/12

y=(60m+z)/12

其中 x和m的范围是从0到11

通过化简方程组变化为

y=60(x+12m)/143

z=60(m+12x)/143

那么每组x和m 就对应一组y和z

也就对应一个时针在z刻度 分针在y刻度的位置

也就对应一个满足条件的时间

我们知道x和m 各有12种选择

那么一共就是12*12=144种

但是有两种是重复的

就是x=0 m=0时 y=0 z=0 和 x=11 m=11时 y=60 z=60

其实 这两个都是0点0分

所以要减去1个

也就是143个



记得应该是这么做

打了半天 边想边打 累死了……