映射与同胚

2.2.3.1 映射、一一映射与连续映射

设{X，τ₁}与{X，τ₂}是两个拓扑空间，F:X→Y是定义在两个拓扑空间的映射，如果每个Y中包含F(x₀)的邻域N(F(x₀))的原像包含X中含有x₀的一个邻域N(x₀)，则映射F在x₀∈X处连续。如果映射F在X的每个点连续，则F在X上连续。

如果对于任意x∈X，有且仅有一个F(x)∈Y，则F:X→Y为一一映射，而且，存在逆映射F^-:Y→X也是一一映射。

设{X，τ₁}与{Y，τ₂}是两个拓扑空间，对于映射F:X→Y，下列命题是等价的:

(1)F在X上连续;

(2)Y中每个开集的原像是X中的开集;

(3)Y中每个闭集的原像是X中的闭集;

(4)对于每个A?X，A的补集的映射属于A的映射的补。

设{X，τ}、{Y，τ₂}和{Z，τ₃}是拓扑空间，映射F:X→Y与G:Y→Z都是连续映射，则复合映射H=GF:X→Z是连续映射。

2.2.3.2 同胚与嵌入

设{X，τ₁}与{Y，₂}是两个拓扑空间，F:X→Y是定义在两个拓扑空间的映射，如果F是连续的一一映射，则存在逆映射F^-:Y→X，如果F^-:Y→X也是连续的，则:

(1)F为一个同胚(或拓扑变换)，且拓扑空间{X，τ₁}同胚于{Y，₂};

(2)对于集合AX，存在映射F(A)Y，则称A与F(A)是同胚的或拓扑等价的;

(3)F又称为嵌入，并称X可嵌入Y中。

在同胚下保持不变的性质称为拓扑性质(或拓扑不变量)。拓扑不变量可以是空间的某种特性(如连通性、紧致性)，也可以是某个数值(如欧拉数)。

2.2.3.3 局部拓扑维数

设{X，τ}为一个拓扑空间，AX是X的子集。对于A内部任意点 ，至少存在一个邻域N(x)，使得N(x)∩A同胚于一个n维开球，此时n所能取的最大值即为定义在点 上的局部拓扑维数d(x)=n。

在三维空间中，AR³，则:

(1)当A为一个点时， 的局部拓扑维数为0;

(2)当A为一条曲线时，曲线上任意点 的局部拓扑维数为1;

图2.2 局部拓扑维数示例

(3)当A为一张曲面时，曲面上任意点 的局部拓扑维数为2;

(4)当A为一个体时，体上任意点 的局部拓扑维数为3。

局部拓扑维数并不是总能确定的。如图2.2所示，在三维空间中，A由两张相交平面组成，A上不位于两平面交线上的内部点(如x₁、x₂、x₃)的局部拓扑维数为2，交线上任意点(如x₄)的领域与A的交集不同胚于任何一个n维开球，所以，其局部拓扑维数是不确定的。