如何理解「函数可以看成是一个无限维的向量」?

一个函数确实是一个无穷维矢量。

可以这样看，比如三维空间中的一个点： (x,y,z), 可以看作是在三组基下，分别确定系数之后组合成一个点。 那么对于一个函数f(t)可以看作是在基 t 下的向量，由于t的取值无穷且连续，所以f(t)是个无穷维向量。

不同的基其实就是不同是视角看同一个东西，比如时域下的方波信号，是以时间为视角，同样的东西，如果在频率的角度下看，即看由什么频率的正余弦信号组合，此时的基就是cos(n  t)这种。

这个引用简而言之就是说，任意向量y都可以被看成在[0，1]单位区间内的离散函数，为什么呢？假设y是个维度为P的向量，每一维由标量x1, x2, ..., xp表示。把y全画在x轴上怎么表示呢？

可以在x轴上[0，1]单位区间内等分成P个点，每个点的值就是对应的标量x1, x2, ..., xp的值。那当P很大时，即y是个有无限维度的向量，就相当于在x轴上[0，1]单位区间内等分成无数个点，这样画出来的各个点的值就是连续的了。

这不就是连续的函数吗？所以向量可以看成离散函数，而连续函数可以看成无限维的向量。

函数的解释：

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。