英语文章小学四年级美术

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三二〕又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？

答曰：十一亩九十步、十二分步之一。

术曰：半周半径相乘得积步。

又术曰：周径相乘，四而一。

又术曰：径自相乘，三之，四而一。

又术曰：周自相乘，十二而一。

〔三三〕今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？

答曰：一百二十步。

〔三四〕又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？

答曰：五亩六十二步、四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。

〔三五〕今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？

答曰：一亩九十七步半。

〔三六〕又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？

答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

〔三七〕今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？

答曰：二亩五十五步。

〔三八〕又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？

答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。

术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。

密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。

○方田（以御田畴界域）

今有田广十五步，从十六步。问为田几何？答曰：一亩。

又有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。

〔图：从十四，广十二。〕

方田 术曰：广从步数相乘得积步。

〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。

淳风等按：经云广从相乘得积步，注云广从相乘谓之幂。观斯注意，积幂义

同。以理推之，固当不尔。何则？幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。循名

责实，二者全殊。虽欲同之，窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方；其言积者

举众步之都数。经云相乘得积步，即是都数之明文。注云谓之为幂，全乖积步之

本意。此注前云积为田幂，于理得通。复云谓之为幂，繁而不当。今者注释，存

善去非，略为料简，遗诸后学。〕

以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。

〔淳风等按：此为篇端，故特举顷、亩二法。余术不复言者，从此可知。一

亩之田，广十五步，从而疏之，令为十五行，则每行广一步而从十六步。又横而

截之，令为十六行，则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步，各自为方，

凡有二百四十步。一亩之地，步数正同。以此言之，则广从相乘得积步，验矣。

二百四十步者，亩法也；百亩者，顷法也。故以除之，即得。〕

今有田广一里，从一里。问为田几何？答曰：三顷七十五亩。

又有田广二里，从三里。问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。

里田 术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

〔按：此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩，故以乘之，即

得亩数也。〕

今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。

又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。

○约分

〔按：约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之；分之为数，繁则难用。

设有四分之二者，繁而言之，亦可为八分之四；约而言之，则二分之一也，虽则

异辞，至于为数，亦同归尔。法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。〕

术曰：可半者半之；不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，

求其等也。以等数约之。

〔等数约之，即除也。其所以相减者，皆等数之重叠，故以等数约之。〕

今有三分之一，五分之二，问合之得几何？答曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五，问合之得几何？答曰：得一、六十三

分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四，问合之得几何？答曰：得

二、六十分之四十三。

○合分

〔淳风等按：合分知，数非一端，分无定准，诸分子杂互，群母参差。粗细

既殊，理难从一，故齐其众分，同其群母，令可相并，故曰合分。〕

术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。

〔母互乘子。约而言之者，其分粗；繁而言之者，其分细。虽则粗细有殊，

然其实一也。众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母

互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同，共一母也；齐者，子与母齐，

势不可失本数也。方以类聚，物以群分。数同类者无远；数异类者无近。远而通

体知，虽异位而相从也；近而殊形知，虽同列而相违也。然则齐同之术要矣：错

综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同

以通之，此其算之纲纪乎？其一术者，可令母除为率，率乘子为齐。〕

实如法而一。不满法者，以法命之。

〔今欲求其实，故齐其子，又同其母，令如母而一。其余以等数约之，即得

知，所谓同法为母，实余为子，皆从此例。〕

其母同者，直相从之。

今有九分之八，减其五分之一，问余几何？答曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，减其三分之一，问余几何？答曰：十二分之五。

○减分

〔淳风等按：诸分子、母数各不同，以少减多，欲知余几，减余为实，故曰

减分。〕

术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。

〔母互乘子知，以齐其子也。以少减多知，齐故可相减也。母相乘为法者，

同其母也。母同子齐，故如母而一，即得。〕

今有八分之五，二十五分之十六，问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六

多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六，问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三

分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七，问孰多？多几何？答曰：二十一分之八

多，多一千五十分之四十三。

○课分

〔淳风等按：分各异名，理不齐一，较其相近之数，故曰课分也。〕

术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一，即相多也。

〔淳风等按：此术母互乘子，以少分减多分，与减分义同；惟相多之数，意

与减分有异：减分知，求其余数有几；课分知，以其余数相多也。〕

今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减

四分之三者二，三分之二者一，并，以益三分之一，而各平于十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？答曰：减

三分之二者一，四分之三者四、并，以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。

○平分

〔淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平

分也。〕

术曰：母互乘子，

〔齐其子也。〕

副并为平实。

〔淳风等按：母互乘子，副并为平实知，定此平实主限，众子所当损益知，

限为平。〕

母相乘为法。

〔母相乘为法知，亦齐其子，又同其母。〕

以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。

〔此当副置列数除平实，若然则重有分，故反以列数乘同齐。

淳风等按：问云所平之分多少不定，或三或二，列位无常。平三知，置位三

重；平二知，置位二重。凡此之例，一准平分不可豫定多少，故直云列数而已。〕

以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？答曰：人得一钱二十一分钱之

四。

又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何？答曰：

人得二钱八分钱之一。

○经分

〔淳风等按：经分者，自合分已下，皆与诸分相齐，此乃直求一人之分。以

人数分所分，故曰经分也。〕

术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之。

〔母互乘子知，齐其子；母相乘者，同其母。以母通之者，分母乘全内子。

乘，散全则为积分，积分则与子相通，故可令相从。凡数相与者谓之率。率知，

自相与通。有分则可散，分重叠则约也；等除法实，相与率也。故散分者，必令

两分母相乘法实也。〕

重有分者同而通之。

〔又以法分母乘实，实分母乘法。此谓法、实俱有分，故令分母各乘全分内

子，又令分母互乘上下。〕

今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？答曰：三十五分步之十

二。

又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？答曰：十一分步之七。

又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？答曰：九分步之四。

○乘分

〔淳风等按：乘分者，分母相乘为法，子相乘为实，故曰乘分。〕

术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分，以乘其实而长之，则亦满法，乃

为全耳。又以子有所乘，故母当报除。报除者，实如法而一也。今子相乘则母各

当报除，因令分母相乘而连除也。此田有广从，难以广谕。设有问者曰：马二十

匹，直金十二斤。今卖马二十匹，三十五人分之，人得几何？答曰：三十五分斤

之十二。其为之也，当如经分术，以十二斤金为实，三十五人为法。设更言马五

匹，直金三斤。今卖马四匹，七人分之，人得几何？答曰：人得三十五分斤之十

二。其为之也，当齐其金、人之数，皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者，

犹齐其金也；母相乘为法者，犹齐其人也。同其母为二十，马无事于同，但欲求

齐而已。又，马五匹，直金三斤，完全之率；分而言之，则为一匹直金五分斤之

三。七人卖四马，一人卖七分马之四。金与人交互相生。所从言之异，而计数则

三术同归也。〕

今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？答曰：十八步。

又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？答曰：一百

二十步九分步之五。

又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？答曰：

一亩二百步十一分步之七。

○大广田

〔淳风等按：大广田知，初术直有全步而无余分；次术空有余分而无全步；

此术先见全步，复有余分，可以广兼三术，故曰大广。〕

术曰：分母各乘其全，分子从之，

〔分母各乘其全，分子从之者，通全步内分子。如此则母、子皆为实矣。〕

相乘为实。分母相乘为法。

〔犹乘分也。〕

实如法而一。

〔今为术广从俱有分，当各自通其分。命母入者，还须出之，故令分母相乘

为法而连除之。〕

今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？答曰：一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二，问为田几何？答曰：二十

三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。

〔半广知，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。按：半广乘从，以取中

平之数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。〕

今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？

答曰：九亩一百四十四步。

又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？

答曰：二十三亩七十步。

没有写历史上记载是东汉民间前的一套整理之前的一本数学书

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